Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства прямоугольной призмы.
1. Свойство 1: В прямоугольной призме ребра, исходящие из одной вершины, равны между собой. Это означает, что АВ = А1В1 = 13, ВС = В1С1 = 21 и АС = А1С1 = 20.
2. Свойство 2: Боковые грани прямоугольной призмы являются прямоугольниками.
3. Свойство 3: Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника равных по площади.
Итак, приступим к решению задачи.
Шаг 1: Найдем площадь прямоугольного треугольника СС1В.
Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: S = 0,5 * a * b * sin(угол между сторонами a и b).
Применим эту формулу к треугольнику СС1В.
a = СС1 = 21 (по условию), b = ВВ1 = 13 (по свойству 1), угол между сторонами а и b равен 30 градусов (по условию).
Таким образом, площадь треугольника СС1В равна:
S = 0,5 * 21 * 13 * sin(30°) = 0,5 * 21 * 13 * 0,5 = 0,25 * 21 * 13 = 65,25.
Шаг 2: Найдем площадь боковой грани А1С.
Для этого воспользуемся свойством 3: площадь боковой грани прямоугольной призмы равна половине произведения длины стороны призмы и диагонали этой грани.
Строим треугольник А1АС1, где А1С1 - диагональ боковой грани А1С.
Из условия известно, что угол между плоскостью грани СС1В1В и диагональю боковой грани А1С равен 30°.
Так как в треугольнике А1АС1 одна сторона равна 20 (по свойству 1), а угол между этой стороной и диагональю равен 30°, то мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника: S = 0,5 * a * b * sin(угол между сторонами a и b).
a = 20 (по свойству 1), b - длина диагонали боковой грани А1С (неизвестная), угол между сторонами а и b равен 30 градусов (по условию).
Таким образом, площадь треугольника А1АС1 составляет:
S = 0,5 * 20 * b * sin(30°).
Шаг 3: Найдем длину диагонали боковой грани А1С.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(угол между сторонами a и b).
Применим эту формулу к треугольнику А1С1С.
a = А1С1 = 20 (по условию), b = СС1 = 21 (по условию), угол между сторонами а и b равен 90° (так как это прямоугольная призма).
Таким образом, длина диагонали боковой грани А1С составляет:
c = √(20^2 + 21^2 - 2 * 20 * 21 * cos(90°)) = √(400 + 441 - 0) = √(841) = 29.
Шаг 4: Найдем площадь боковой грани А1С.
Вернемся к формуле для нахождения площади треугольника А1АС1: S = 0,5 * 20 * b * sin(30°).
Подставим в нее найденную длину диагонали боковой грани А1С: S = 0,5 * 20 * 29 * sin(30°) = 10 * 29 * 0,5 = 145.
Таким образом, площадь боковой грани А1С равна 145.
решение задания по геометрии
1. Свойство 1: В прямоугольной призме ребра, исходящие из одной вершины, равны между собой. Это означает, что АВ = А1В1 = 13, ВС = В1С1 = 21 и АС = А1С1 = 20.
2. Свойство 2: Боковые грани прямоугольной призмы являются прямоугольниками.
3. Свойство 3: Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника равных по площади.
Итак, приступим к решению задачи.
Шаг 1: Найдем площадь прямоугольного треугольника СС1В.
Для этого воспользуемся формулой площади треугольника: S = 0,5 * a * b * sin(угол между сторонами a и b).
Применим эту формулу к треугольнику СС1В.
a = СС1 = 21 (по условию), b = ВВ1 = 13 (по свойству 1), угол между сторонами а и b равен 30 градусов (по условию).
Таким образом, площадь треугольника СС1В равна:
S = 0,5 * 21 * 13 * sin(30°) = 0,5 * 21 * 13 * 0,5 = 0,25 * 21 * 13 = 65,25.
Шаг 2: Найдем площадь боковой грани А1С.
Для этого воспользуемся свойством 3: площадь боковой грани прямоугольной призмы равна половине произведения длины стороны призмы и диагонали этой грани.
Строим треугольник А1АС1, где А1С1 - диагональ боковой грани А1С.
Из условия известно, что угол между плоскостью грани СС1В1В и диагональю боковой грани А1С равен 30°.
Так как в треугольнике А1АС1 одна сторона равна 20 (по свойству 1), а угол между этой стороной и диагональю равен 30°, то мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника: S = 0,5 * a * b * sin(угол между сторонами a и b).
a = 20 (по свойству 1), b - длина диагонали боковой грани А1С (неизвестная), угол между сторонами а и b равен 30 градусов (по условию).
Таким образом, площадь треугольника А1АС1 составляет:
S = 0,5 * 20 * b * sin(30°).
Шаг 3: Найдем длину диагонали боковой грани А1С.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(угол между сторонами a и b).
Применим эту формулу к треугольнику А1С1С.
a = А1С1 = 20 (по условию), b = СС1 = 21 (по условию), угол между сторонами а и b равен 90° (так как это прямоугольная призма).
Таким образом, длина диагонали боковой грани А1С составляет:
c = √(20^2 + 21^2 - 2 * 20 * 21 * cos(90°)) = √(400 + 441 - 0) = √(841) = 29.
Шаг 4: Найдем площадь боковой грани А1С.
Вернемся к формуле для нахождения площади треугольника А1АС1: S = 0,5 * 20 * b * sin(30°).
Подставим в нее найденную длину диагонали боковой грани А1С: S = 0,5 * 20 * 29 * sin(30°) = 10 * 29 * 0,5 = 145.
Таким образом, площадь боковой грани А1С равна 145.
Ответ: Площадь боковой грани А1С равна 145.