Во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежном переключателем по сравнению с постоянным резервированием: 2.1 в m раз, где m число отказавших элементов системы; 2.2 в n! раз, где n сумма резервных и основного элементов системы; 2.3 в g! раз, где g разность резервных и основного элементов системы.
Чтобы рассмотреть этот вопрос, давайте разберем каждую из трех ситуаций по очереди.
2.1 Во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, если m - число отказавших элементов системы?
В этом случае, давайте предположим, что исходная система состоит из n элементов и m из них отказали. В режиме постоянного резервирования, мы имеем только один резервный элемент, который заменяет отказавший элемент в случае отказа. Это означает, что вероятность безотказной работы такой системы будет равна вероятности отказа всех m отказавших элементов, а затем вероятности того, что резервный элемент будет работать.
Вероятность отказа одного элемента обозначим как p. Тогда вероятность безотказной работы одного элемента будет равна (1 - p). Так как резервный элемент замещает каждый отказавший элемент, вероятность безотказной работы системы с постоянным резервированием будет равна произведению вероятностей безотказной работы каждого отдельного элемента и вероятности отказа всех m отказавших элементов:
P1 = (1 - p)^m
В случае резервирования с абсолютно надежным переключателем, у нас все еще есть m отказавших элементов, но каждый из них заменяется надежным резервным элементом. Таким образом, вероятность безотказной работы системы с резервированием замещением будет равна произведению вероятностей безотказной работы каждого отдельного элемента и вероятности отказа каждого отказавшего элемента:
P2 = (1 - p)^m
Поэтому, чтобы вычислить, во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, нам нужно разделить P2 на P1:
P2 / P1 = ((1 - p)^m) / ((1 - p)^m) = 1
Таким образом, во всех случаях вероятность безотказной работы будет одинаковой, и резервирование с замещением не повышает вероятность безотказной работы по сравнению с постоянным резервированием.
2.2 Во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, если n - сумма резервных и основного элементов системы?
В случае, если n - сумма резервных и основного элементов системы, мы можем выразить вероятность безотказной работы каждой системы следующим образом:
- В случае резервирования с постоянным резервным элементом, вероятность безотказной работы системы будет равна вероятности отказа всех(n - m) рабочих элементов:
P1 = (1 - p)^(n - m)
- В случае резервирования с замещением с абсолютно надежным переключателем, вероятность безотказной работы системы будет равна вероятности отказа всех рабочих(n - m) и резервных m элементов:
P2 = (1 - p)^(n + m)
Чтобы вычислить, во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, нам нужно разделить P2 на P1:
P2 / P1 = ((1 - p)^(n + m)) / ((1 - p)^(n - m))
После упрощения этого выражения, мы получим:
P2 / P1 = ((1 - p)^(n + m)) / ((1 - p)^(n - m)) = (1 - p)^(n + m - (n - m)) = (1 - p)^(2m)
Таким образом, вероятность безотказной работы при резервировании с замещением с абсолютно надежным переключателем будет в (1 - p)^(2m) раз выше, чем при резервировании с постоянным резервным элементом.
2.3 Во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, если g - разность резервных и основного элементов системы?
В этом случае, предположим, что у нас есть r резервных элементов и m основных элементов. Тогда g = r - m.
Вероятность безотказной работы в случае резервирования с замещением будет равна:
P1 = (1 - p)^r
Вероятность безотказной работы в случае постоянного резервирования будет равна:
P2 = (1 - p)^m
Чтобы вычислить, во сколько раз вероятность безотказной работы выше при резервировании замещением с абсолютно надежным переключателем по сравнению с постоянным резервированием, нам нужно разделить P1 на P2:
P1 / P2 = ((1 - p)^r) / ((1 - p)^m) = (1 - p)^(r - m) = (1 - p)^g
Таким образом, вероятность безотказной работы при резервировании с замещением с абсолютно надежным переключателем будет в (1 - p)^g раз выше, чем при резервировании с постоянным резервным элементом.
Надеюсь, что объяснение понятно. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать. Желаю удачи в изучении математики!