​Земляне дистанционно зондируют планетную систему звезды Prob галактики Measure на предмет содержания водорода в атмосфере. Посылается по одному сигналу на каждую планету. Сигнал на обратном пути проходит через ретрансляционную станцию, расположенную на границе Солнечной системы, и с вероятностью 0.1 не доходит до Земли. Все полученные результаты сохраняются на этой станции. Если результат зондирования, пришедший на Землю, говорит о том, что процент водорода выше определенного порога (положительный результат), то к этой планете с Земли сразу же автоматически посылается зонд для более детального исследования (зонд, в частности, точно определяет содержание водорода в атмосфере планеты и передает соответствующий сигнал на Землю без помех). В случае отрицательного результата зонд не посылается. В случае потери сигнала при передаче через промежуточную станцию автомат принимает решение о посылке зонда, подкидывая правильную кость: если выпадает 6, то зонд посылается, в противном случае – не посылается. Метод дистанционного исследования не точен: если результат зондирования положителен, то на самом деле процент водорода превышает заданный порог с вероятностью 0.8; если результат зондирования отрицателен, то на самом деле процент водорода не превышает заданный порог с вероятностью 0.95. На основании данных, сохраненных на ретрансляционной станции при исследовании аналогичных планетных систем галактики Measure, для любой планеты системы звезды Prob результат дистанционного зондирования ожидается положительным с вероятностью 0.3. ​ а) Какова вероятность того, что на случайно выбранной планете системы звезды Prob уровень водорода выше порога? b)б) Какова вероятность того, что на некоторую планету U, случайно выбранную из исследуемой системы планет, будет послан зонд? в) Какова вероятность того, что зонд, посланный на некоторую планету W, сообщит, что процент водорода в атмосфере W выше определенного порога? г) Результат дистанционного зондирования планеты Y системы звезды Prob на Землю не дошел. На Y был послан зонд, который передал нам точную информацию о том, что процент содержания водорода в атмосфере Y достаточен. Какова вероятность того, что результат ее дистанционного зондирования, сохраненный на промежуточной станции, был положительным? е) Зонд был послан на планету Z и сообщил, что процент водорода недостаточен. Какова вероятность того, что мы получили результат дистанционного зондирования планеты Z? Введите число в виде десятичной дроби с разделителем «точка» с точностью до четырех десятичных знаков, например, 0.3571.

Давайте пошагово решим каждую часть вопроса: а) Чтобы определить вероятность того, что уровень водорода на случайно выбранной планете системы звезды Prob выше порога, нам нужно использовать условную вероятность. Пусть событие A - уровень водорода выше порога, а событие B - результат дистанционного зондирования положителен. Мы хотим найти вероятность P(A|B), т.е. вероятность A при условии B. Из условия известно, что результат зондирования ожидается положительным с вероятностью 0.3 (P(B) = 0.3) и если результат положительный, то процент водорода на самом деле превышает порог с вероятностью 0.8 (P(A|B) = 0.8). Используя формулу условной вероятности, мы получаем: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) P(A∩B) = P(B) * P(A|B) = 0.3 * 0.8 = 0.24 Теперь, чтобы найти P(A), вероятность того, что уровень водорода выше порога на случайно выбранной планете, нам нужно использовать полную вероятность: P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|¬B) * P(¬B), где ¬B обозначает отрицание события B. Из условия известно, что вероятность отрицательного результата зондирования, когда на самом деле процент водорода не превышает порог, равна 0.95 (P(A|¬B) = 0.95) и вероятность потери сигнала при передаче равна 0.1 (P(¬B) = 0.1). Подставляем значения: P(A) = 0.8 * 0.3 + 0.95 * 0.7 = 0.24 + 0.665 = 0.905. Ответ: Вероятность того, что на случайно выбранной планете системы звезды Prob уровень водорода выше порога, составляет 0.905. б) Чтобы найти вероятность того, что на некоторую планету U будет послан зонд, мы должны использовать условную вероятность. Пусть событие C - результат дистанционного зондирования положителен, а событие D - зонд послан на планету U. Мы хотим найти вероятность P(D|C), т.е. вероятность D при условии C. Из условия известно, что результат зондирования ожидается положительным с вероятностью 0.3 (P(C) = 0.3) и если результат положительный, то зонд посылается с вероятностью 1, если не было потери сигнала (P(D|C) = 1). Таким образом, P(D|C) = 1. Ответ: Вероятность того, что на некоторую планету U, случайно выбранную из исследуемой системы планет, будет послан зонд, составляет 1. в) Чтобы найти вероятность того, что зонд сообщит, что процент водорода в атмосфере планеты W выше порога, мы должны использовать условную вероятность. Пусть событие E - результат зондирования положителен, а событие F - уровень водорода на планете W выше порога. Мы хотим найти вероятность P(F|E), т.е. вероятность F при условии E. Из условия известно, что результат зондирования положителен при проценте водорода выше порога с вероятностью 0.8 (P(F|E) = 0.8). Ответ: Вероятность того, что зонд, посланный на некоторую планету W, сообщит, что процент водорода в атмосфере W выше определенного порога, составляет 0.8. г) По условию, результат дистанционного зондирования планеты Y на Землю не дошел, но на Y был послан зонд и мы узнали, что процент содержания водорода в атмосфере Y достаточен. Чтобы определить вероятность того, что результат дистанционного зондирования, сохраненный на промежуточной станции, был положительным, мы должны использовать условную вероятность. Пусть событие G - результат дистанционного зондирования положителен, а событие H - результат передачи сигнала был потерян. Мы хотим найти вероятность P(G|H), т.е. вероятность G при условии H. Из условия известно, что результат дистанционного зондирования ожидается положительным с вероятностью 0.3 (P(G) = 0.3) и вероятность потери сигнала при передаче равна 0.1 (P(H) = 0.1). Таким образом, P(H) = 0.1. Ответ: Вероятность того, что результат дистанционного зондирования планеты Y, сохраненный на промежуточной станции, был положительным, составляет 0.3. е) Нам нужно определить вероятность того, что мы получили результат дистанционного зондирования планеты Z, когда зонд сообщил, что процент водорода недостаточен. Пусть событие I - результат дистанционного зондирования положителен, а событие J - процент водорода на планете Z недостаточен. Мы хотим найти вероятность P(J|I), т.е. вероятность J при условии I. Из условия известно, что результат дистанционного зондирования положителен при проценте водорода выше порога с вероятностью 0.8 (P(I) = 0.8) и вероятность отрицательного результата зондирования, когда на самом деле процент водорода не превышает порог, равна 0.95 (P(J|I) = 0.05). Используя формулу Байеса, мы можем вычислить P(J|I): P(J|I) = (P(I|J) * P(J)) / P(I), где P(I|J) - вероятность положительного результата дистанционного зондирования при проценте водорода недостаточном, P(J) - вероятность процента водорода недостаточного и P(I) - вероятность положительного результата дистанционного зондирования. Подставляем значения: P(J|I) = (0.05 * 0.95) / 0.8 = 0.0475 / 0.8 = 0.059375. Ответ: Вероятность того, что мы получили результат дистанционного зондирования планеты Z, когда зонд сообщил, что процент водорода недостаточен, составляет 0.059375.