хотя бы половину . Буду благодарен.
Если есть вопросы можете в личку. Я вам отвечу.
Задача 1. Два фактора, точки закрытия.
У фирмы есть технология производства товара y:
y 6 √x1 + (x2x3)1/4
плюс операционные издержки размера 1 и еще дополнительно имеется товарный налог
размера 1. Цену товара нормируем единице, а вот цены факторов пусть будут (p, q, r).
а) Является ли технологическое множество выпуклым? Аргументируйте через
подграфик функции либо через верхнее/нижнее лебегово множество.
б) Решите задачу максимизации полезности, найдите x1, x2, x3, y как функции
от p, q, r. Аргументируйте (можно геометрически), почему ваше решение действительно
находит оптимум.
в) Вычислите функцию издержек C(q).
г) Найдите точки закрытия рынка и изобразите (трезубец) геометрически.
Постарайтесь собрать константы из пункта в одну.
Задача 2. Три товара, две фирмы.
Есть два завода с разными технологиями
первый : y21 + y22 6 x, второй : y22 + y23 6 x
однако первый завод не производит y3, а второй y1 совсем. Цену фактора x нормируем к
единице, а цены товаров пусть будут (p,q,r)
а) Являются ли технологические множества выпуклыми? Аргументируйте через
надграфик1 функции
б) Решите задачу максимизации прибыли, считая что каждый завод управля-
ется отдельно. Посчитайте оптимальные выпуски y1, y2,y3.
в) Решите задачу максимизации прибыли, считая что оба завода принадлежат
одному владельцу. Посчитайте оптимальный общий выпуски.
г) Найдите совместную технологическую границу G(y1, y2, y3) 6 x, соответ-
ствующую объединенным заводам. Подсказка: надо оптимально разделить нагрузку между
двумя заводами.
д) Промаксимизируйте py1 + qy2 + ry3 3 G(y1, y2, y3)
е) Сравните общий выпуск в пунктах б), в), д).
Задача 3. 100 волн
На рынке волн есть 100 фирм «Волна 1», «Волна 2», ... «Волна 100». У каждой фирмы
функция издержек описывается следующим уравнением: T Ci(Qi) = 3Qi +
3 cos (2
πQi)
2π
, где Qi –
количество производенных тонн воды в «Волне i». Спрос на волны предъявляют серферы.
Обратная функция спроса на рынке: pd(Q) = √
100
Q .
Найдите выпуск каждой фирмы на рынке и цену.
Задача 4. Неравные фирмы.
На рынке совершенной конкуренции, где цена на готовую продукцию составляет p, действуют фирм двух типов: A и B. Фирмы типа A имеют производственную функцию fA(x) =
√
4 x1x2x3x4. А фирмы типа B имеют производственную функцию fB(x) = 0.25(x1+x2+x3+x4).
xi — факторы производства, где цена на каждый составляет pi.
Найдите, при каких ценах p1, p2, p3 и p4 фирмы типа A имеют большую прибыль, чем
фирмы типа B.
а) Чтобы определить, является ли технологическое множество выпуклым, мы можем проверить выпуклость подграфика функции. Для этого построим график функции y = 6√x1 + (x2x3)^(1/4), а затем посмотрим, лежит ли этот график ниже или на уровне каждой его секущей прямой. Если график лежит ниже или на уровне всех секущих прямых, то технологическое множество будет выпуклым.
б) Чтобы решить задачу максимизации полезности и найти оптимальные значения x1, x2, x3 и y в зависимости от p, q и r, нужно использовать условия оптимальности. Нам дана функция полезности, которую нужно максимизировать - это y, а также у нас есть ограничения на цены факторов (p, q, r). Мы можем составить условные уравнения, взяв первые производные функции полезности по каждому фактору и приравняв их к ценам соответствующих факторов. Решив это систему уравнений, мы найдем оптимальные значения x1, x2, x3 и y.
в) Чтобы вычислить функцию издержек C(q), нам необходимо знать цены факторов (p, q, r) и функцию производственных затрат. В данной задаче функция издержек равна операционным издержкам размера 1 плюс товарный налог размера 1. То есть C(q) = 1 + 1 = 2.
г) Чтобы найти точки закрытия рынка и изобразить их геометрически, нам нужно найти такие значения факторов x1, x2 и x3, при которых производство товара y будет невозможно или нецелесообразно. Чтобы это сделать, мы можем построить график функции производства товара y = 6√x1 + (x2x3)^(1/4), а затем найти такие значения факторов, при которых график функции пересекает оси координат или имеет горизонтальные асимптоты.
Задача 2:
а) Для определения выпуклости технологических множеств мы можем использовать надграфик функции. Для этого нужно построить графики функций y1 = y21 + y22 и y2 = y22 + y23, а затем посмотреть, лежат ли эти графики ниже или на уровне каждой их секущей прямой. Если графики лежат ниже или на уровне всех секущих прямых, то технологические множества будут выпуклыми.
б) Чтобы решить задачу максимизации прибыли для каждого завода отдельно и найти оптимальные значения выпусков y1, y2 и y3, нужно использовать условия оптимальности. Нам дана функция прибыли, которую нужно максимизировать - это p*y1 + q*y2 + r*y3, а также у нас есть ограничения на цены факторов (p, q, r). Мы можем составить условные уравнения, взяв первые производные функции прибыли по каждому фактору и приравняв их к ценам соответствующих факторов. Решив эту систему уравнений, мы найдем оптимальные значения y1, y2 и y3.
в) Чтобы решить задачу максимизации прибыли для обоих заводов, принадлежащих одному владельцу, и найти оптимальные общие значения выпусков y1, y2 и y3, нужно суммировать функции прибыли для каждого завода отдельно и использовать условия оптимальности. Затем мы получим систему уравнений, в которой нам нужно найти оптимальные значения y1, y2 и y3 для обоих заводов при общих ограничениях на цены факторов (p, q, r).
г) Чтобы найти совместную технологическую границу G(y1, y2, y3), соответствующую объединенным заводам, мы должны оптимально разделить нагрузку между двумя заводами. Это означает, что мы должны найти сочетание выпусков y1, y2 и y3, которое обеспечит максимальную прибыль для объединенных заводов при ограничениях на цены факторов (p, q, r).
д) Чтобы промаксимизировать выражение py1 + qy2 + ry3 при условии G(y1, y2, y3) ≤ x, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. Это метод, который позволяет учесть ограничения при оптимизации функции. Мы можем составить функцию Лагранжа, содержащую выражение py1 + qy2 + ry3 и условие G(y1, y2, y3) ≤ x, а затем найти его частные производные и приравнять их к нулю. Таким образом, мы найдем оптимальные значения y1, y2 и y3 для данного выражения при ограничениях на выпуски.
е) Чтобы сравнить общий выпуск в пунктах б), в) и д), нужно вычислить значения y1, y2 и y3 для каждой ситуации и сравнить их.