Издержки конкурентной фирмы описываются уравнением: TC=45+5q2. Цена на её продукцию равна 100. Определите: а)оптимальный объём выпуска для данной фирмы и прибыль данной фирмы; б)как изменятся оптимальный объём и прибыль данной фирмы, если цена сократится до 30.
а) Чтобы найти оптимальный объем выпуска для данной фирмы, нужно найти точку, в которой максимизируется ее прибыль. Для этого мы будем использовать понятие маржинальной прибыли, которая определяется как изменение прибыли при добавлении одной единицы продукции.
Для начала, определим функцию прибыли для данной фирмы. Прибыль (π) рассчитывается как разница между выручкой (TR) и издержками (TC):
π = TR - TC
Выручка (TR) рассчитывается как произведение цены (P) на количество продукции (q):
TR = P * q
В данном случае, цена на продукцию равна 100, поэтому:
TR = 100q
Издержки (TC) для данной фирмы описываются уравнением:
TC = 45 + 5q2
Теперь, найдем маржинальную прибыль. Маржинальная прибыль (MR) определяется как изменение прибыли при изменении выпуска на единицу:
MR = Δπ / Δq
Теперь найдем производную от функции прибыли по количеству продукции (q) для определения маржинальной прибыли:
dπ / dq = d(TR - TC) / dq
Так как TR = 100q и TC = 45 + 5q2, то:
dπ / dq = d(100q - (45 + 5q2)) / dq
dπ / dq = d(55q - 5q2) / dq
dπ / dq = 55 - 10q
Установим маржинальную прибыль равной нулю чтобы найти точку максимума прибыли:
55 - 10q = 0
10q = 55
q = 5.5
Таким образом, оптимальный объем выпуска для данной фирмы составляет 5.5 единицы.
Теперь, чтобы найти прибыль данной фирмы при оптимальном объеме выпуска, подставим найденное значение q в функцию прибыли:
π = TR - TC
π = (100q) - (45 + 5q2)
π = (100 * 5.5) - (45 + 5 * (5.5)2)
π = 550 - (45 + 5 * 30.25)
π = 550 - (45 + 151.25)
π = 550 - 196.25
π = 353.75
Таким образом, при оптимальном объеме выпуска равном 5.5 единиц, прибыль данной фирмы составляет 353.75.
б) Теперь давайте рассмотрим случай, когда цена сократилась до 30. Мы будем использовать ту же самую методику для определения нового оптимального объема и прибыли.
Так как цена равна 30, новая функция выручки (TR) будет:
TR = 30q
Подставим новые значения в функцию прибыли для определения новой маржинальной прибыли:
dπ / dq = d(30q - (45 + 5q2)) / dq
dπ / dq = d(-5q2 + 30q - 45) / dq
dπ / dq = -10q + 30
Установим маржинальную прибыль равной нулю:
-10q + 30 = 0
10q = 30
q = 3
Таким образом, оптимальный объем выпуска для данной фирмы при цене 30 составляет 3 единицы.
Теперь, чтобы найти прибыль данной фирмы при оптимальном объеме выпуска, подставим новое значение q в функцию прибыли:
π = TR - TC
π = (30q) - (45 + 5q2)
π = (30 * 3) - (45 + 5 * (3)2)
π = 90 - (45 + 45)
π = 90 - 90
π = 0
Таким образом, при снижении цены до 30, оптимальный объем продаж для данной фирмы составляет 3 единицы, но прибыль будет равна нулю. Это объясняется тем, что при новой более низкой цене, издержки превышают выручку, что приводит к отсутствию прибыли.