Найти наименьшее число, которое будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело

Легко видеть, что если к искомому числу прибавить единицу, то результат будет делиться без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6. Наименьшее число с этим свойством есть 60 (наименьшее общее кратное) и все такие числа содержаться в ряду 60, 120, 180, ... Искомое число делится на 7, значит в указанном ряду нужно найти число, дающее при делении на 7 остаток 1. Этому условию отвечает число 120. Итак, число 119 - наименьшее, решающее задачу.