Добрый день, ученик! Давайте разберем задачу постепенно.
Перед нами задача о нахождении оптимального объема производства для получения максимальной прибыли. Для этого нам нужно использовать данные функции общих затрат и определить при каком объеме производства прибыль будет наибольшей.
1. Чтобы решить задачу, нам нужно знать функцию общих затрат (ТC). В данной задаче она задана видом: ТС = 80 + Q^2, где Q - количество произведенных печей.
Теперь, чтобы найти оптимальный объем производства, нам нужно определить, когда сумма затрат на производство (ТC) будет равна прибыли (П). Формула для вычисления прибыли имеет вид: П = Ц × Q - ТC, где Ц - цена печи.
Так как в условии задачи указано, что цена печи равна 50, можем подставить это значение в формулу прибыли и переписать ее: П = 50 × Q - (80 + Q^2).
2. Для нахождения оптимального объема производства, необходимо найти уровень производства (Q), при котором прибыль будет максимальной. Для этого проведем следующие шаги:
Шаг 1: Раскроем скобку в формуле прибыли. Получим: П = 50 × Q - 80 - Q^2.
Шаг 2: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: П + Q^2 - 50 × Q + 80 = 0.
Шаг 3: Получившееся уравнение является квадратным трехчленом. Для его решения воспользуемся методом Дискриминанта. Для этого обратимся к формуле Дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -50 и c = 80.
Шаг 4: Подставим значения в формулу Дискриминанта: D = (-50)^2 - 4 × 1 × 80 = 2500 - 320 = 2180.
Шаг 5: Посмотрим на значение Дискриминанта (D). Если D > 0, то есть уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то есть уравнение имеет один корень. Если D < 0, то есть уравнение не имеет действительных корней.
В нашем случае D > 0, так что есть два различных действительных корня.
Шаг 6: Для нахождения этих корней воспользуемся формулой квадратного корня: Q = (-b ± √D) / 2a.
Шаг 7: Подставим значения a = 1, b = -50 и D = 2180 в формулу квадратного корня и решим.
a) Подставим в формулу для первого корня: Q1 = (-(-50) + √2180) / (2 × 1) = (50 + √2180) / 2.
b) Подставим в формулу для второго корня: Q2 = (-(-50) - √2180) / (2 × 1) = (50 - √2180) / 2.
Теперь у нас есть два значения объема производства (Q1 и Q2), при которых прибыль будет максимальной. Осталось ответить на вторую часть вопроса и найти прибыль фирмы.
3. Для нахождения прибыли фирмы, нужно найти значение прибыли (П) при оптимальном объеме Q1 и при оптимальном объеме Q2. Подставим значения объема в формулу прибыли П = 50 × Q - (80 + Q^2).
Теперь у нас есть два значения прибыли (П1 и П2), в зависимости от объема производства. Максимальная прибыль будет соответствовать одному из этих значений.
Теперь я предоставлю расчеты и найду значения оптимального объема производства и прибыли фирмы:
Перед нами задача о нахождении оптимального объема производства для получения максимальной прибыли. Для этого нам нужно использовать данные функции общих затрат и определить при каком объеме производства прибыль будет наибольшей.
1. Чтобы решить задачу, нам нужно знать функцию общих затрат (ТC). В данной задаче она задана видом: ТС = 80 + Q^2, где Q - количество произведенных печей.
Теперь, чтобы найти оптимальный объем производства, нам нужно определить, когда сумма затрат на производство (ТC) будет равна прибыли (П). Формула для вычисления прибыли имеет вид: П = Ц × Q - ТC, где Ц - цена печи.
Так как в условии задачи указано, что цена печи равна 50, можем подставить это значение в формулу прибыли и переписать ее: П = 50 × Q - (80 + Q^2).
2. Для нахождения оптимального объема производства, необходимо найти уровень производства (Q), при котором прибыль будет максимальной. Для этого проведем следующие шаги:
Шаг 1: Раскроем скобку в формуле прибыли. Получим: П = 50 × Q - 80 - Q^2.
Шаг 2: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: П + Q^2 - 50 × Q + 80 = 0.
Шаг 3: Получившееся уравнение является квадратным трехчленом. Для его решения воспользуемся методом Дискриминанта. Для этого обратимся к формуле Дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -50 и c = 80.
Шаг 4: Подставим значения в формулу Дискриминанта: D = (-50)^2 - 4 × 1 × 80 = 2500 - 320 = 2180.
Шаг 5: Посмотрим на значение Дискриминанта (D). Если D > 0, то есть уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то есть уравнение имеет один корень. Если D < 0, то есть уравнение не имеет действительных корней.
В нашем случае D > 0, так что есть два различных действительных корня.
Шаг 6: Для нахождения этих корней воспользуемся формулой квадратного корня: Q = (-b ± √D) / 2a.
Шаг 7: Подставим значения a = 1, b = -50 и D = 2180 в формулу квадратного корня и решим.
a) Подставим в формулу для первого корня: Q1 = (-(-50) + √2180) / (2 × 1) = (50 + √2180) / 2.
b) Подставим в формулу для второго корня: Q2 = (-(-50) - √2180) / (2 × 1) = (50 - √2180) / 2.
Теперь у нас есть два значения объема производства (Q1 и Q2), при которых прибыль будет максимальной. Осталось ответить на вторую часть вопроса и найти прибыль фирмы.
3. Для нахождения прибыли фирмы, нужно найти значение прибыли (П) при оптимальном объеме Q1 и при оптимальном объеме Q2. Подставим значения объема в формулу прибыли П = 50 × Q - (80 + Q^2).
Выполним вычисления:
- При Q = Q1: П = 50 × Q1 - (80 + Q1^2) = 50 × (50 + √2180) / 2 - (80 + ((50 + √2180) / 2)^2).
- При Q = Q2: П = 50 × Q2 - (80 + Q2^2) = 50 × (50 - √2180) / 2 - (80 + ((50 - √2180) / 2)^2).
Теперь у нас есть два значения прибыли (П1 и П2), в зависимости от объема производства. Максимальная прибыль будет соответствовать одному из этих значений.
Теперь я предоставлю расчеты и найду значения оптимального объема производства и прибыли фирмы:
1. Оптимальный объем производства:
Q1 = (50 + √2180) / 2.
Q2 = (50 - √2180) / 2.
2. Прибыль фирмы:
П1 = 50 × Q1 - (80 + Q1^2).
П2 = 50 × Q2 - (80 + Q2^2).
Теперь вы можете применить эти выражения для конкретных вычислений, используя калькулятор или программу для решения уравнений.