решть Функция полезности потребителя имеет вид U = 2ху, где х – количество покупаемых видеокассет, у- количество покупаемых аудиокассет. Его
еженедельные расходы на приобретение этих двух товаров составляют 50 рублей. Цена видеокассеты-15, цена аудиокассеты- 5 руб.
- определить оптимальный объем еженедельных закупок видео и аудиокассет
-как изменится спрос на эти товары, если цена видеокассет возрастет до 20 рублей?
Первым шагом нам нужно выразить функцию полезности U через х и у и узнать размер бюджета, чтобы найти предельные полезности.
Зная, что функция полезности U = 2ху, мы можем выразить х через у из уравнения предельной полезности:
х = U / (2у)
Далее, нам необходимо выразить бюджетное ограничение и получить уравнение, которое будет зависеть только от х или у. Используя информацию о расходах на приобретение этих двух товаров, мы можем записать уравнение бюджетного ограничения:
15х + 5у = 50
Теперь мы можем использовать метод равенства предельных полезностей для определения оптимального объема еженедельных закупок.
1. Выразим у через х из уравнения бюджетного ограничения:
у = (50 - 15х) / 5
2. Подставим это значение у в уравнение предельной полезности:
х = U / (2 * (50 - 15х) / 5)
3. Упростим уравнение:
х = (U * 5) / (2 * (50 - 15х))
4. Разрешим это уравнение относительно х:
10х - 3х² = U
5. Заметим, что наша функция полезности U = 2ху, поэтому мы можем подставить эту функцию в полученное уравнение:
10х - 3х² = 2ху
6. Заменяя х на (U / (2у)), мы получаем:
10(U / (2у)) - 3(U / (2у))² = 2(U / (2у))^2
7. Упростим это выражение:
5U / у - 3(U² / (4у²)) = U² / (2у²)
8. Умножим обе части на 2у², чтобы избавиться от дробей:
10Uу - 3U² = U²
9. Перенесем все термины на одну сторону и упростим:
10Uу - 4U² = 0
10. Разделим обе части на U, так как U != 0:
10у - 4U = 0
11. Разделим обе части на 2:
5у - 2U = 0
12. Разрешим это уравнение относительно у:
у = 2U / 5
Таким образом, оптимальный объем еженедельных закупок видео будет равен х = U / (2у) = U / (2 * (2U / 5)) = 5 / 2.
Определив оптимальный объем, мы можем перейти к второй части вопроса: как изменится спрос на эти товары, если цена видеокассет возрастет до 20 рублей?
Поскольку цена одной видеокассеты увеличится, это изменит бюджетное ограничение и, следовательно, оптимальные объемы закупок видео и аудиокассет.
1. Обновим уравнение бюджетного ограничения:
20х + 5у = 50
2. Выразим у через х:
у = (50 - 20х) / 5
3. Подставим это значение у в уравнение предельной полезности:
х = U / (2 * (50 - 20х) / 5)
4. Упростим уравнение:
х = (U * 5) / (2 * (50 - 20х))
5. Разрешим это уравнение относительно х:
10х - 4х² = U
6. Подставим функцию полезности U = 2ху:
10х - 4х² = 2ху
7. Заменяя х на (U / (2у)), мы получаем:
10х - 4х² = 2ху
8. Упростим это выражение:
5у - 2х = 0
9. Разрешим это уравнение относительно у:
у = 2х / 5
Таким образом, в новых условиях оптимальный объем еженедельных закупок видео будет равен х = U / (2у) = U / (2 * (2х / 5)) = 5 / 4.
Итак, изменится оптимальный объем закупок видеокассет с 5/2 до 5/4 в случае увеличения цены видеокассет до 20 рублей.