1. 7 Залежність швидкості тіла від часу задається рівнянням v = A + Bt + Ct2, де А = 4 м/с, В = 2 м/с2, С = 0,3 м/с3. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від t1 = 2 с до t2 = 5 с? Яка середня швидкість тіла і середнє прискорення <α> за цей проміжок часу?
1. Найдем путь, проходимый телом за данный промежуток времени. Для этого воспользуемся формулой пути, которая определяется как интеграл от скорости по времени:
x = ∫(v dt) = ∫((A + Bt + Ct^2) dt)
Раскроем скобки и проинтегрируем каждый член по отдельности:
∫(A dt) + ∫(Bt dt) + ∫(Ct^2 dt)
x = At + (Bt^2/2) + (Ct^3/3)
Подставим значения A, B и C:
x = 4t + (2t^2/2) + (0,3t^3/3)
Для нахождения пути тела за данный промежуток времени, подставим в формулу значения t1 и t2:
x2 - x1 = 4t2 + (2t2^2/2) + (0,3t2^3/3) - (4t1 + (2t1^2/2) + (0,3t1^3/3))
x2 - x1 = 4*5 + (2*5^2/2) + (0,3*5^3/3) - (4*2 + (2*2^2/2) + (0,3*2^3/3))
x2 - x1 = 20 + 25 + 25 - 8 - 4 - 1
x2 - x1 = 57
Ответ: Тело проходит путь равный 57 метрам.
2. Теперь найдем среднюю скорость тела за данный промежуток времени. Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути к промежутку времени:
vср = (x2 - x1) / (t2 - t1)
vср = 57 / (5 - 2)
vср = 19 м/с
Ответ: Средняя скорость тела за данный промежуток времени равна 19 м/с.
3. Наконец, найдем среднее ускорение тела за данный промежуток времени. Среднее ускорение определяется как изменение скорости тела за данный промежуток времени:
α = (v2 - v1) / (t2 - t1)
α = (A + Bt2 + Ct2^2 - (A + Bt1 + Ct1^2)) / (t2 - t1)
α = (B(t2 - t1)) / (t2 - t1) + C(t2^2 - t1^2) / (t2 - t1)
α = B + C(t2 + t1)
Подставим значения B, C, t1 и t2:
α = 2 + 0,3(5 + 2)
α = 2 + 0,3 * 7
α = 2 + 2,1
α = 4,1 м/с^2
Ответ: Среднее ускорение тела за данный промежуток времени равно 4,1 м/с^2.