1 блок задач
1) На тренировке занимаются 12 баскетболистов.
Сколько может быть образовано тренером
различных стартовых пятерок?
2) Сколько разных слов можно составить из слова
«комбинаторика»?
3) Для составления букета из девяти цветов в магазине
имеются розы, гвоздики, хризантемы и пионы.
Сколькими можно составить из этих
цветов букет?
4) Сколько существует четырехзначных номеров, не
содержащих цифр 0, 5, 8?
2 блок задач
5) Сколько различных трехзначных чисел можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни
одна цифра не повторится?
6) Сколько чисел меньше миллиона можно записать
при цифр 8 и 9?
7) В магазине имеются в продаже яблоки,
апельсины, груши и мандарины. Сколькими
можно образовать набор из 12 фруктов?
ну
очень над
C(12, 5) = 12! / (5!(12-5)!) = 792
Таким образом, тренер может образовать 792 различных стартовых пятерок.
2) Чтобы составить различные слова из слова "комбинаторика", мы должны учесть все перестановки букв в слове. В данном случае имеется 13 букв:
- буква "о" встречается 2 раза, поэтому у нас есть две одинаковые "о"
- остальные буквы встречаются один раз
Используем формулу для числа перестановок с повторами:
N = n! / (n1! * n2! * ... * nk!)
где n - общее количество букв, а n1, n2, ..., nk - количество повторяющихся букв. Подставляем значения в формулу:
N = 13! / (2! * 1! * ... * 1!)
Вычисляя значение, получаем:
N = 13! / 2! ≈ 6 227 020
Таким образом, из слова "комбинаторика" можно составить примерно 6 227 020 различных слов.
3) Для составления букета требуется выбрать определенное количество цветов из имеющихся. Мы можем использовать сочетания для решения этой задачи. Число сочетаний из n элементов по k элементов можно вычислить по формуле C(n, k). В данном случае n = 9, а k может быть 1, 2, 3 или 4, так как мы не можем выбрать букет только из одного цветка. Вычисляем число сочетаний для каждого k:
C(9, 1) = 9
C(9, 2) = 36
C(9, 3) = 84
C(9, 4) = 126
Общее число возможных букетов будет суммой числа сочетаний для каждого k:
9 + 36 + 84 + 126 = 255
Таким образом, из этих цветов можно составить 255 различных букетов.
4) Чтобы определить количество четырехзначных номеров, не содержащих цифры 0, 5, 8, мы должны учесть доступные варианты для каждой позиции в номере. Заметим, что на первой позиции нельзя использовать цифры 0 и 5, поэтому у нас остается 7 вариантов (1, 2, 3, 4, 6, 7, 9). На каждой следующей позиции также доступно 7 вариантов (поскольку исключаем 0, 5 и 8). Таким образом, общее количество четырехзначных номеров будет равно:
7 * 7 * 7 * 7 = 2401
Таким образом, существует 2401 четырехзначный номер, не содержащих цифры 0, 5 и 8.
5) Для составления трехзначного числа без повторений из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 мы можем использовать перестановки без повторений. Чтобы найти число перестановок, мы должны использовать формулу P(n, k) = n! / (n-k)!, где n = 5 (количество доступных цифр) и k = 3 (количество цифр, которые мы хотим выбрать для числа). Подставляем значения в формулу:
P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60
Таким образом, мы можем составить 60 различных трехзначных чисел без повторений из цифр 1, 2, 3, 4 и 5.
6) Мы хотим найти количество чисел меньше миллиона, которые можно записать с использованием цифр 8 и 9. Мы можем использовать сочетания с повторениями. В данном случае у нас есть две доступные цифры (8 и 9) и максимальное шестизначное число - 999999. Чтобы найти количество чисел, мы должны учесть количество возможных сочетаний для каждой позиции от первой до шестой:
2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6 = 64
Таким образом, мы можем записать 64 числа меньше миллиона, используя цифры 8 и 9.
7) Чтобы найти количество возможных наборов из 12 фруктов, мы можем использовать сочетания с повторениями. В данном случае у нас есть четыре доступных фрукта (яблоки, апельсины, груши и мандарины). Чтобы определить количество наборов, мы должны учесть количество возможных сочетаний для каждого фрукта в наборе от 0 до 12:
C(12+4-1, 12) = C(15, 12) = 455
Таким образом, мы можем составить 455 различных наборов из 12 фруктов.
Я надеюсь, что эти объяснения и пошаговые решения помогут вам лучше понять и решить данные задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.