1 Две белочки играли в салки прыгая по веткам двух деревьев. Спитать, что деревья представляют собой ствол из которого торчат горизонтальные ветки длиной I = 3 метра и отстоящие по вертикали друг от друга на h = 1 метр, а расстояние между стволами деревьев составляет L = 10 метров Пренебрегая размерами белочек и сопротивлением воздуха, найти максимальное отношение скоростей белок, прыгающих горизонтально с концов N-той N + 3 веток одного дерева, чтобы они оказались на одной ветке другого дерева.
Дано:
S1 = 5 см² = 5/10000 = 0,0005 м²
L1 = 10 см = 0,1 м
m = 2100 кг
H = 1,5 м
F1 = 700 H
g = 10 Н/кг
k - ?
Очевидно, что второй поршень должен прикладывать силу равную или большую, чем вес автомобиля:
F2 ≥ P, а вес автомобиля равен:
P = Fт = m*g = 2100*10 = 21000 H = 21 кН, приравняем силу к весу:
F2 = P, тогда уравнение для гидравлического подъёмника будет:
p1 = p2 - равенство давлений,
p = F/S => F1/S1 = F2/S2.
Далее. Прикладывая силу F1, малый поршень изменяет объём жидкости в малом сосуде на (V2 - V1) = ΔV. Такое же по значению изменение объёма жидкости будет наблюдаться в большом сосуде. То есть, можно приравнять модули изменения объёмов:
|ΔV| = |ΔV| - избавимся от модуля и значка "Δ", представив изменение объёма как произведение площади на высоту:
V = S*h. За один ход малый поршень проходит путь, равный L1, значит он вытесняет из малого сосуда объём жидкости, равный
V = S1*h1, а т.к. h1 = L1, то
V = S1*L1. В большом сосуде, соответственно, большой поршень проходит путь L2, который равен h2, значит объём жидкости, вытесненной в большой сосуд равен:
V = S2*h2 = S2*L2. Равенство объёмов будет выглядеть следующим образом:
V = V
S1*L1 = S2*L2. Количество ходов обоих поршней одинаково, ведь когда малый поршень делает свой ход, большой тоже двигается. Поэтому из данного уравнения мы можем выразить путь, который проходит большой поршень за один ход. Но сначала надо выразить площадь поверхности большого поршня из полученного ранее уравнения давлений:
F1/S1 = F2/S2 => S2 = F2/(F1/S1) = (F2*S1)/F1
Выражаем путь хода большого поршня:
S1*L1 = S2*L2 => L2 = (S1*L1)/S2 = (S1*L1)/((F2*S1)/F1) = (S1*L1*F1)/(F2*S1) = (L1*F1)/F2
Теперь остаётся разделить высоту, на которую система подняла автомобиль, на путь хода большого поршня - тогда мы получим количество ходов как большого, так и малого поршня:
k = H/L2 = H/((L1*F1)/F2) = (H*F2)/(L1*F1) = (1,5*21000)/(0,1*700) = (1,5/0,1) * 30 = (15/10 : 1/10)*30 = 15*30 = 450
Можно решить в одно действие:
Площадь поверхности большого поршня больше площади поверхности малого во столько же раз, во сколько раз общий путь малого поршня (d1 = k*L1) больше общего пути большого (d2 = H). Вспомним равенство объёмов:
V = V
S1*L1 = S2*L2 - подставим вместо пути одного хода общий путь:
S1*d1 = S2*d2 => S1/(k*L1) = S2*H
k*L1/H = S2/S1, тогда, выражая S2, выражаем k и находим значение:
k*L1/H = ((F2*S1)/F1)/S1 = F2/F1 = mg/F1
k = mg/F1 : L1/H = mgH/(F1*L1) = 450
Однако проще всего задачу решить через работу:
Так как в условиях ничего не говорится о КПД подъёмника, то он равен 1. Тогда работа, которую совершает малый поршень, будет равна работе большого поршня. Работа большого поршня, в свою очередь, равна потенциальной энергии автомобиля:
А2 = F2*d2 = Еп = mgH, где d2 - общий путь большого поршня, равный H (d2 = H)
Работа малого поршня равна:
A1 = F1*d1, где общий путь d1 = k*L1, тогда составим уравнение:
A1 = A2 => F1*d1 = F2*d2 => F1*k*L1 = mgH - выражаем k и находим значение:
k = mgH/(F1*L1) = (2100*10*1,5)/(700*0,1) = 30*15 = 450
Не совсем ясно, для чего дана площадь поверхности малого поршня - она всё равно сокращается при расчётах.
ответ: 450 ходов.