1. материальная точка движется прямолинейно. уравнение движения имеет вид : х=3t+0,06t в кубе, длина в метрах, время в секундах. найти скорость и ускорение точки в моменты, времени t1=0 и t2=3 секунды. каковы средние значения скорости и ускорение за первые 3 секунды с движения?
2. из точки с координатами (0,0) брошено тело массой 1 кг под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/c. найти кинетическую и потенциальную энергии тела через 1,5 секунды после начала движения и в наивысшей точке траектории.
Исходное уравнение движения:
x = 3t + 0,06t^3
1) Для нахождения скорости точки, продифференцируем уравнение по времени:
v = dx/dt = d(3t + 0,06t^3)/dt = 3 + 0,18t^2
Подставим t = t1 = 0 для нахождения скорости в момент t1=0:
v1 = 3 + 0,18(0)^2 = 3 м/с
Подставим t = t2 = 3 для нахождения скорости в момент t2=3:
v2 = 3 + 0,18(3)^2 = 3 + 0,18(9) = 3 + 1,62 = 4,62 м/с
Таким образом, скорость точки в момент t1=0 равна 3 м/с, а в момент t2=3 равна 4,62 м/с.
2) Для нахождения ускорения точки, продифференцируем уравнение скорости по времени:
a = dv/dt = d(3 + 0,18t^2)/dt = 0,36t
Подставим t = t1 = 0 для нахождения ускорения в момент t1=0:
a1 = 0,36(0) = 0 м/с^2
Подставим t = t2 = 3 для нахождения ускорения в момент t2=3:
a2 = 0,36(3) = 1,08 м/с^2
Таким образом, ускорение точки в момент t1=0 равно 0 м/с^2, а в момент t2=3 равно 1,08 м/с^2.
3) Для нахождения средней скорости и ускорения за первые 3 секунды движения, найдем скорость и ускорение в моменты времени 0 и 3 секунды, а затем найдем их среднее значение.
Средняя скорость за первые 3 секунды:
vср = (v1 + v2) / 2 = (3 + 4,62) / 2 = 3,81 м/с
Среднее ускорение за первые 3 секунды:
аср = (a1 + a2) / 2 = (0 + 1,08) / 2 = 0,54 м/с^2
Таким образом, средняя скорость за первые 3 секунды движения составляет 3,81 м/с, а среднее ускорение - 0,54 м/с^2.
2. Для нахождения кинетической и потенциальной энергий тела через 1,5 секунды после начала движения и в наивысшей точке траектории, воспользуемся следующими формулами:
Кинетическая энергия (КЭ):
КЭ = (1/2)mv^2
Потенциальная энергия (ПЭ):
ПЭ = mgh
Где m - масса тела (1 кг), v - скорость тела, g - ускорение свободного падения (примем g = 9,8 м/с^2), h - высота точки на траектории (координата y).
1,5 секунды после начала движения:
Для нахождения скорости тела через 1,5 секунды воспользуемся формулой расстояния, пройденного при равноускоренном движении:
x = v0t + (1/2)at^2
Учитывая, что начальная скорость v0 = 20 м/с, время t = 1,5 секунды и ускорение a = 9,8 м/с^2 (положительное, так как движение происходит вниз), найдем:
x = 20*1,5 + (1/2) * 9,8 * (1,5)^2 = 30 + 11,025 = 41,025 м
Таким образом, координата y в этот момент равна 41,025 м.
Кинетическая энергия через 1,5 секунды:
КЭ = (1/2) * m * v^2 = (1/2) * 1 * 20^2 = 200 Дж
Потенциальная энергия через 1,5 секунды:
ПЭ = m * g * h = 1 * 9,8 * 41,025 = 401,785 Дж
В наивысшей точке траектории (когда скорость тела равна 0):
Кинетическая энергия в наивысшей точке равна 0, так как скорость тела равна 0.
Потенциальная энергия в наивысшей точке:
ПЭ = m * g * h = 1 * 9,8 * 41,025 = 401,785 Дж
Таким образом, кинетическая энергия через 1,5 секунды после начала движения равна 200 Дж, а потенциальная энергия - 401,785 Дж. В наивысшей точке траектории, кинетическая энергия равна 0, а потенциальная энергия - 401,785 Дж.