1)определить работу,совершаемую 1 молем воздуха в цикле карно , если степень изотермического и адиабатического расширения равна двум , температура нагревателя t1 = 400 k (к ответу прикрепить график ,если он используется)
Идеальный цикл Карно состоит из четырёх последовательных ветвей:
1-2 : Изоттермическое расширение с подогревом на температуре T12 нагревателя, ∆A12 = ∆Q12 > 0 ; ∆U12 = 0 ;
2-3 : Адиабатическое расширение с само-охлаждением ∆T23=–∆T<0 от температуры T12 до температуры T34 холодильника, ∆A23 = –∆U23 > 0 ; ∆Q23 = 0 ;
3-4 : Изоттермическое сжатие с телоотведением на температуре T34 холодильника, ∆A34 = ∆Q34 < 0 ; ∆U12 = 0 ;
4-1 : Адиабатическое сжатие с само-нагреванием ∆T41=∆T>0 от температуры T34 до температуры T12 нагревателя, ∆A41 = –∆U41 > 0 ; ∆Q41 = 0 ;
В разнонаправленных адиабатических процессах 2-3 и 4-1, соединяющих ОДНИ И ТЕ ЖЕ изотермы – происходят, очевидно, одинаквые изменения температуры:
∆T23 = T34 – T12 = –∆T < 0 ;
∆T41 = T12 – T34 = ∆T > 0 ;
Поскольку U = Cv ν T , то:
∆U23 = –Cv ν ∆T = –∆U41 ;
Но в адиабатических процессах ∆A = –∆U, а поэтому:
∆A23 = –∆A41 ;
Таким образом (как собственно для Цикла Карно это и хорошо известно):
∆A23 + ∆A41 = 0 – т.е. сумма частичных работ на адиабатах в Ц.Карно равна нулю.
Уравнение адиабаты: VT^[Cv/R] = const ;
Отсюда ясно, что поскольку, отношения температур на концах обеих адиабат одинаковое, то и отношение объёмов на концах обеих адаиабат одинаковое, а значит, и в процессе 2-3 и в процессе 4-1 объём меняется ровно вдвое.
Т.е. V4 = 2V1. Но, поскольку V3 = 4V1, то на второй изотерме 3-4 – отношение объёмов ровно такое же, как и на первой изотерме.
1-2 : Изоттермическое расширение с подогревом
на температуре T12 нагревателя, ∆A12 = ∆Q12 > 0 ; ∆U12 = 0 ;
2-3 : Адиабатическое расширение с само-охлаждением ∆T23=–∆T<0
от температуры T12 до температуры T34 холодильника, ∆A23 = –∆U23 > 0 ; ∆Q23 = 0 ;
3-4 : Изоттермическое сжатие с телоотведением
на температуре T34 холодильника, ∆A34 = ∆Q34 < 0 ; ∆U12 = 0 ;
4-1 : Адиабатическое сжатие с само-нагреванием ∆T41=∆T>0
от температуры T34 до температуры T12 нагревателя, ∆A41 = –∆U41 > 0 ; ∆Q41 = 0 ;
В разнонаправленных адиабатических процессах 2-3 и 4-1, соединяющих ОДНИ И ТЕ ЖЕ изотермы – происходят, очевидно, одинаквые изменения температуры:
∆T23 = T34 – T12 = –∆T < 0 ;
∆T41 = T12 – T34 = ∆T > 0 ;
Поскольку U = Cv ν T , то:
∆U23 = –Cv ν ∆T = –∆U41 ;
Но в адиабатических процессах ∆A = –∆U, а поэтому:
∆A23 = –∆A41 ;
Таким образом (как собственно для Цикла Карно это и хорошо известно):
∆A23 + ∆A41 = 0 – т.е. сумма частичных работ на адиабатах в Ц.Карно равна нулю.
Уравнение адиабаты: VT^[Cv/R] = const ;
Отсюда ясно, что поскольку, отношения температур на концах обеих адиабат одинаковое, то и отношение объёмов на концах обеих адаиабат одинаковое, а значит, и в процессе 2-3 и в процессе 4-1 объём меняется ровно вдвое.
Т.е. V4 = 2V1. Но, поскольку V3 = 4V1, то на второй изотерме 3-4 – отношение объёмов ровно такое же, как и на первой изотерме.
Работа газа на изотерме 1-2 выражается, как:
∆A12 = νRT12 ln|V2/V1| ;
Работа газа на изотерме 3-4 выражается, как:
∆A34 = νRT34 ln|V4/V3| = –νRT34 ln|V2/V1| = –(T34/T12) ∆A12 ;
Суммарная работа
∆A = ∆A12 + ∆A23 + ∆A34 + ∆A41 = ∆A12 + ∆A34 = ∆A12 ( 1 – T34/T12 ) ;
Температуру T34 найдём из уравнения адиабаты: VT^[Cv/R] = const ;
V2 T12^[Cv/R] = V3 T34^[Cv/R] ;
T34/T12 = (V2/V3)^[R/Cv] ;
Окончательно:
∆A = ∆A12 ( 1 – T34/T12 ) = νRT12 ln|V2/V1| ( 1 – (V2/V3)^[R/Cv] ) ;
Для воздуха: Cv = [5/2] R и, стало быть,
с учётом условия о том, что: V2/V1 = V3/V2 = 2, получаем:
∆A = νRT12 ln|V2/V1| ( 1 – (V2/V3)^[R/Cv] ) = νRT12 ln2 ( 1 – 1/2^[2/5] ) ;
∆A = νRT12 ln2 ( 1 – 1/2^[2/5] ) = 8.315*400*ln2 ( 1 – 1/2^0.4 ) ≈ 558 Дж .