1. Радиус-вектор частицы определяется выражением r = 3t^2i-y=t^3j (м). Найдите модуль вектора скорости частицы в момент t = 1 с. 2. К концам нити, перекинутой через вращающийся без трения блок, прикреплены грузы массами 0,25 кг и 0,15 кг. Найдите модуль ускорения, с которым движутся грузы. 3. Стальной шарик массой 30 г упал с высоты 1,25 м на стальную плиту и под-скочил после удара на 0,8 м. Найдите модуль изменения импульса шарика при ударе.
Для этого продифференцируем выражение для радиус-вектора по времени:
r = 3t^2i - t^3j
dr/dt = d(3t^2i)/dt - d(t^3j)/dt
dr/dt = 6ti - 3t^2j
Теперь заменим t = 1 с в полученном выражении:
v = 6(1)i - 3(1)^2j
v = 6i - 3j
Модуль вектора скорости вычисляется как корень из суммы квадратов его проекций на оси:
|v| = sqrt((6)^2 + (-3)^2)
|v| = sqrt(36 + 9)
|v| = sqrt(45)
|v| ≈ 6,71 м/с
2. Для нахождения модуля ускорения грузов, нужно сложить силы, действующие на них, и разделить на суммарную массу.
На первый груз действует сила тяжести F1 = m1 * g, где m1 - масса первого груза (0,25 кг), g - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с^2).
На второй груз действует та же сила тяжести F2 = m2 * g, где m2 - масса второго груза (0,15 кг).
Суммарная сила F_sum на грузы равна векторной сумме сил F1 и F2:
F_sum = F1 + F2 = (0,25 кг * 9,8 м/с^2)i - (0,15 кг * 9,8 м/с^2)j
Модуль ускорения a можно найти, разделив суммарную силу на суммарную массу грузов:
a = |F_sum| / (m1 + m2) = |F_sum| / (0,25 кг + 0,15 кг) ≈ |F_sum| / 0,40 кг
Вычислим модуль силы:
|F_sum| = sqrt((0,25 * 9,8)^2 + (0,15 * 9,8)^2)
Теперь найдем модуль ускорения:
a = |F_sum| / 0,40 кг
3. Модуль изменения импульса шарика можно найти, используя закон сохранения импульса. Из этого закона следует, что при ударе сумма импульсов до и после удара должна быть равной.
Импульс вычисляется как произведение массы на скорость: p = m * v.
Модуль изменения импульса при ударе можно рассчитать как разность между модулями импульсов до и после удара:
Δp = |p_после| - |p_до|
Известно, что при ударе стального шарика о стальную плиту упругий коэффициент (отношение отскоченной скорости к падающей) равен 0,8.
Тогда скорость шарика после удара можно найти, умножив его падающую скорость на 0,8:
v_после = 0,8 * v_до
Модуль изменения импульса будет равен разнице между модулями импульсов до и после удара:
Δp = |m * v_после| - |m * v_до| = m * (|v_после| - |v_до|)
Значения массы шарика m (30 г) и его падающей скорости v_до можно подставить в формулу и найти модуль изменения импульса шарика при ударе.