1. Точка обращается по окружности радиусом R=1,2 м. Уравнение движения точки φ=At+Bt3, где А=0,5 рад/с; В=0,2 рад/с3. Определить тангенциальное aτ, нормальное an и полное a ускорения точки в момент времени t=4 с. 2. На железнодорожной платформе установлено орудие. Орудие жестко скреплено с платформой. Масса платформы и орудия М=20 т. Орудие производит выстрел под углом α=60о к линии горизонта в направлении пути. Какую скорость u1 приобретает платформа с орудием вследствие отдачи, если масса снаряда m=50 кг и он вылетает из канала ствола со скоростью u2=500 м/с?
3. Шар массой m1=5 кг движется со скоростью v1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=3 кг. Вычислить работу A, совершенную при деформации шаров при прямом центральном ударе. Шары считать неупругими.
4. Сплошной однородный диск катится по горизонтальной плоскости со скоростью v=10 м/с. Какое расстояние пройдет диск до остановки, если его предоставить самому себе? Коэффициент трения при движении диска равен 0,02.
5. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом T=105 мин. Определить высоту спутника. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.
6. Скорость электрона v=0,8 с (где с – скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию T электрона.
Уравнение движения точки дано как φ=At+Bt^3.
Для нахождения тангенциального ускорения aτ, необходимо найти первую производную уравнения движения по времени t:
dφ/dt = A + 3Bt^2
Подставим t = 4 с в это выражение:
dφ/dt = A + 3B(4^2)
= A + 3B(16)
= A + 48B
Таким образом, значение тангенциального ускорения aτ в момент времени t = 4 с будет равно A + 48B.
Для нахождения нормального ускорения an, необходимо найти вторую производную уравнения движения по времени t:
d^2φ/dt^2 = 6Bt
Подставим t = 4 с в это выражение:
d^2φ/dt^2 = 6B(4)
= 24B
Таким образом, значение нормального ускорения an в момент времени t = 4 с будет равно 24B.
Для определения полного ускорения, необходимо использовать следующую формулу:
a = √(aτ^2 + an^2)
Подставим значения aτ = A + 48B и an = 24B в эту формулу:
a = √((A + 48B)^2 + (24B)^2)
= √(A^2 + 96AB + 2304B^2 + 576B^2)
= √(A^2 + 96AB + 2880B^2)
Таким образом, полное ускорение точки в момент времени t = 4 с будет равно √(A^2 + 96AB + 2880B^2).
2. Для определения скорости u1, с которой платформа с орудием приобретает движение вследствие отдачи, необходимо использовать закон сохранения импульса.
Импульс, приобретенный платформой с орудием, должен быть равным импульсу, полученному снарядом. Поскольку снаряд вылетает из канала ствола со скоростью u2, его импульс равен массе снаряда m, умноженной на его скорость u2:
p2 = m * u2
Исходя из закона сохранения импульса, импульс платформы с орудием (p1) должен быть равен импульсу снаряда (p2):
p1 = p2
m1 * u1 = m * u2
u1 = (m * u2) / m1
Подставим значения m = 50 кг, u2 = 500 м/с и m1 = 20 т (1 т = 1000 кг) в эту формулу:
u1 = (50 кг * 500 м/с) / (20 т * 1000 кг/т)
= (25000 кг*м/с) / (20000 кг)
= 1,25 м/с
Таким образом, скорость u1, с которой платформа с орудием приобретает движение вследствие отдачи, равна 1,25 м/с.
3. Для вычисления работы A, совершенной при деформации шаров при прямом центральном ударе, необходимо знать изменение кинетической энергии до и после удара.
Перед ударом оба шара обладают кинетической энергией, которая определяется следующей формулой:
K1 = (1/2) * m1 * v1^2
где m1 - масса первого шара, v1 - скорость первого шара.
После удара, энергия переходит от первого шара ко второму, изменяя их скорости. При прямом центральном ударе скорости шаров после удара можно определить с помощью следующих формул:
v1' = ((m1 - m2)*v1 + 2*m2*v2) / (m1 + m2)
v2' = ((m2 - m1)*v2 + 2*m1*v1) / (m1 + m2)
где v1' - скорость первого шара после удара, v2' - скорость второго шара после удара.
После удара, оба шара также обладают кинетической энергией, которая определяется следующей формулой:
K2 = (1/2) * m1 * v1'^2 + (1/2) * m2 * v2'^2
работа, совершенная при деформации шаров при прямом центральном ударе, определяется изменением кинетической энергии:
A = K2 - K1
Подставим значения m1 = 5 кг, v1 = 2 м/с, m2 = 3 кг в эти формулы и решим:
K1 = (1/2) * 5 кг * (2 м/с)^2
= 10 Дж
v1' = ((5 кг - 3 кг)*2 м/с + 2*3 кг*v2) / (5 кг + 3 кг)
= (2 кг*м/с + 6 кг*v2) / 8 кг
v2' = ((3 кг - 5 кг)*v2 + 2*5 кг*2 м/с) / (5 кг + 3 кг)
= (-2 кг*v2 + 20 кг*м/с) / 8 кг
K2 = (1/2) * 5 кг * (v1')^2 + (1/2) * 3 кг * (v2')^2
Таким образом, работа A, совершенная при деформации шаров при прямом центральном ударе, можно рассчитать, подставив найденные значения в формулу A = K2 - K1.
4. Для определения расстояния, которое пройдет диск до остановки, необходимо учесть работу силы трения.
Работа силы трения будет равна изменению кинетической энергии диска:
A = ΔK
ΔK = (1/2) * m * v^2 - 0
где ΔK - изменение кинетической энергии, m - масса диска, v - начальная скорость диска.
Работа силы трения выражается через силу трения и путь:
A = F * s
где A - работа силы трения, F - сила трения, s - путь.
Сила трения может быть выражена через коэффициент трения μ и нормальную силу N:
F = μ * N
В данном случае горизонтальная плоскость, по которой движется диск, создает нормальную силу, равную весу диска:
N = m * g
где m - масса диска, g - ускорение свободного падения.
Сила трения и путь связаны через следующее выражение:
F * s = μ * N * s
Таким образом, работа силы трения может быть выражена как:
A = μ * N * s
С учетом того, что работа силы трения равна изменению кинетической энергии, можно записать следующее:
μ * N * s = (1/2) * m * v^2 - 0
μ * m * g * s = (1/2) * m * v^2
g * s = (1/2) * v^2 / μ
s = (1/2) * v^2 / (g * μ)
Подставим значения v = 10 м/с и μ = 0,02 в это выражение и решим:
s = (1/2) * (10 м/с)^2 / (9,8 м/с^2 * 0,02)
= (1/2) * 100 м^2/с^2 / 0,196 м^2/с^2
= 50 м^2/с^2 / 0,196 м^2/с^2
= 255,1 м
Таким образом, диск пройдет расстояние 255,1 м до остановки.
5. Для определения высоты спутника на круговой орбите вокруг Земли с периодом T, необходимо использовать закон всемирного тяготения.
Период обращения спутника вокруг Земли связан с его высотой h следующей формулой:
T = 2π * √(h / g)
где T - период обращения, g - ускорение свободного падения.
Дано, что период T = 105 мин = 105 * 60 сек.
Таким образом, уравнение может быть переписано следующим образом:
105 * 60 сек = 2π * √(h / g)
Возведем это уравнение в квадрат для устранения корня:
(105 * 60 сек)^2 = (2π)^2 * (h / g)
Получаем:
1102500 сек^2 = 4π^2 * (h / g)
Разделим обе части уравнения на 4π^2:
h = (1102500 сек^2 / 4π^2) * g
Заменим ускорение свободного падения g известным значением и решим:
h = (1102500 сек^2 / 4π^2) * 9,8 м/с^2
≈ 176777 м
Таким образом, высота спутника на круговой орбите вокруг Земли составляет примерно 176777 м.
6. Для определения кинетической энергии T электрона на основе его скорости v и энергии покоя электрона E0, можно использовать релятивистское выражение для энергии.
Релятивистская энергия электрона связана с его массой m и скоростью v следующей формулой:
E = (mc^2) / √(1 - (v^2 / c^2))
где E - релятивистская энергия, m - масса электрона, c - скорость света.
Энергия покоя электрона E0 может быть выражена через его массу m0 и скорость света c:
E0 = (m0c^2) / √(1 - (0 / c^2)) = m0c^2
где m0 - масса покоя электрона.
Выразим кинетическую энергию T через релятивистскую энергию E и энергию покоя электрона E0:
T = E - E0
T = ((mc^2) / √(1 - (v^2 / c^2))) - (m0c^2)
Зная энергию покоя электрона E0 в мегаэлектрон-вольтах, можно выразить ее через энергию покоя электрона в джоулях:
E0 (в Дж) = E0 (в МэВ) * 1,6 * 10^-19 Дж/МэВ
Подставим величины и решим:
T = ((mc^2) / √(1 - (0,8^2 / c^2))) - (m0c^2)
E0 (в МэВ) = 0,511 МэВ
E0 (в Дж) = 0,511 МэВ * 1,6 * 10^-19 Дж/МэВ
T = ((9,1 *