1)Зависимость пути, пройденного точкой по окружности радиуса R = 2,0 м, от времени выражено уравнением l = t + 3t², м. 1. Найдите полное ускорение точки через t = 1,0 с после начала движения.
2. Чему равен угол между нормальным и полным ускорениями в этот момент времени? Решение поясните рисунком.
2).Цилиндр массой m = 1,0 кг движется без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью ʋ = 14 м/с.
1. Через какое время цилиндр остановится, если на него действует сила трения F = 50 Н?
2. Какую работу совершит при этом сила трения?
a) Найдем первую производную по времени (скорость):
v = dl/dt = d(t + 3t²)/dt = 1 + 6t.
b) Найдем вторую производную по времени (ускорение):
a = dv/dt = d(1 + 6t)/dt = 6.
Таким образом, полное ускорение точки будет постоянным и равным 6 м/с².
2) Для нахождения угла между нормальным и полным ускорениями, нам необходимо рассмотреть треугольник, образованный радиусом окружности и векторами нормального и полного ускорений. Угол между векторами будет равен арктангенсу отношения модуля полного ускорения к модулю нормального ускорения.
В данном случае, модуль полного ускорения равен 6 м/с², поскольку мы уже нашли его в предыдущем пункте. А модуль нормального ускорения равен радиусу окружности R, так как оно направлено в сторону центра окружности.
Таким образом, угол между нормальным и полным ускорениями будет:
α = arctan(6/R) = arctan(6/2) = arctan(3) ≈ 71,57°.
Вот рисунок, чтобы проиллюстрировать решение:
\ /
\ /
\ /
\ α / <- Вектор полного ускорения
\ /
\ /
\ /
\ /
\/ <- Вектор нормального ускорения
2) Для нахождения времени, через которое цилиндр остановится, нам необходимо использовать второй закон Ньютона для тел в движении. В данном случае, у нас есть сила трения и масса цилиндра, но нам необходимо найти ускорение цилиндра.
a) Используем второй закон Ньютона:
F - Fтр = ma,
где F - сила, действующая на цилиндр (в данном случае сила трения), Fтр - сила трения, m - масса цилиндра, a - ускорение.
Поскольку цилиндр движется без проскальзывания, то сила трения равна силе трения на пределе прокрутки: Fтр = µN,
где µ - коэффициент трения, N - нормальная сила, равная m*g.
Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом:
F - µmg = ma.
b) Подставим значения:
F - 50 Н - 1 * 9,8 м/с² = 1 * a.
a = (F - µmg) / m = (50 - 0,2 * 1 * 9,8) / 1 = (50 - 1,96) / 1 ≈ 48,04 м/с².
c) Используем формулу для перемещения равноускоренного движения:
s = ʋ₀t + (1/2)at²,
где s - путь, ʋ₀ - начальная скорость, t - время, a - ускорение.
В данном случае начальная скорость ʋ₀ = 14 м/с, ускорение a = -48,04 м/с² (отрицательное значение, так как цилиндр останавливается), и нам необходимо найти время t.
Поскольку мы ищем время, когда путь становится равным нулю, уравнение будет выглядеть следующим образом:
0 = 14 * t + (1/2)(-48,04)(t²).
d) Решим уравнение:
0 = 14t - 24,02t².
2t(7 - 12,02t) = 0.
2t = 0 или 7 - 12,02t = 0.
t₁ = 0 с (начальный момент времени, когда цилиндр не двигается).
7 - 12,02t = 0.
12,02t = 7.
t₂ = 7 / 12,02 ≈ 0,58 с.
Таким образом, цилиндр остановится через примерно 0,58 секунды.
2) Чтобы найти работу, совершенную силой трения, нам необходимо использовать формулу для работы:
W = F * s * cos(θ),
где W - работа, F - сила, s - путь, cos(θ) - косинус угла между направлением силы и пути.
В данном случае, сила трения F = 50 Н, путь, который проходит цилиндр, будет равен нулю, так как он остановился, а угол между силой трения и путем будет 180° (косинус 180° равен -1).
Таким образом, работа силы трения будет:
W = 50 * 0 * (-1) = 0 Дж (джоулей).
То есть, сила трения не совершает работу при остановке цилиндра.