1. зависимость угла поворота φ радиуса колеса от времени t задается уравнением φ(t) = 4 + 2 t + t 2. определить угловое ускорение ε, в момент времени t = 3 с.
2. определить, с какой скоростью упадет тело, брошенное под углом α = 300 к горизонту с начальной скоростью v0 = 5 м/с.
3. зависимость угла поворота φ радиуса колеса от времени t задается уравнением φ(t) = 4 + 2 t + t 2. определить значение угловой скорости ω в момент времени t = 3 с.
4. под действием силы f = 5 н тело переместилось на расстояние s = 4 м. определить работу действующей силы. сила направлена вдоль направления перемещения.
5. нормальное ускорение аn точки, лежащей на расстоянии r = 2 см от центра вращающегося диска равно 2 м/с2. определить линейную скорость v движения точки.
6. зависимость скорости движения v точки от времени t описывается уравнением v(t)= 5 t + 3 t 2. определить ускорение а в момент времени t = 2 с.
7. через какое время t после начала вращения колесо приобретет угловую скорость ω = 10 рад/c? угловое ускорение ε принять равным 1 рад/c2.
8. через какое время t тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 10 м/с, будет иметь вдвое меньшее значение скорости?
dφ(t)/dt = d(4 + 2t + t^2)/dt = 2 + 2t
Теперь найдем значение углового ускорения ε в момент времени t = 3 с, подставив t = 3 в выражение для первой производной:
ε = 2 + 2t = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 рад/c^2
Ответ: угловое ускорение ε равно 8 рад/c^2 в момент времени t = 3 с.
2. Для определения скорости падающего тела под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 необходимо разложить начальную скорость на горизонтальную и вертикальную компоненты. Горизонтальная компонента скорости остается постоянной, а вертикальная компонента изменяется из-за действия силы тяжести.
Горизонтальная компонента скорости: vx = v0 * cos(α) = 5 * cos(300°) = 5 * cos(π/3) = 5 * (1/2) = 2.5 м/с
Вертикальная компонента скорости изменяется из-за силы тяжести. Заметим, что вертикальная компонента скорости изменяется с постоянным вертикальным ускорением g = 9.8 м/с^2 вниз. Используя формулу второго закона Ньютона для вертикального движения:
v = v0 + at
где v - конечная скорость, v0 - начальная скорость, a - вертикальное ускорение, t - время, получаем:
v = 0 + g * t = 9.8 * t м/с
Ответ: скорость падающего тела под углом α = 300° к горизонту с начальной скоростью v0 = 5 м/с равна 2.5 м/с в горизонтальном направлении и 9.8t м/с в вертикальном направлении.
3. Чтобы найти угловую скорость ω, необходимо найти производную угла поворота φ по времени t. Найдем первую производную:
dφ(t)/dt = d(4 + 2t + t^2)/dt = 2 + 2t
Теперь найдем значение угловой скорости ω в момент времени t = 3 с, подставив t = 3 в выражение для первой производной:
ω = 2 + 2t = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 рад/c
Ответ: угловая скорость ω равна 8 рад/c в момент времени t = 3 с.
4. Работа действующей силы W определяется как произведение приложенной силы F на перемещение s в направлении силы:
W = F * s
В данном случае сила F = 5 Н направлена вдоль направления перемещения и перемещение s = 4 м. Подставляя значения в формулу работы, получаем:
W = 5 * 4 = 20 Дж
Ответ: работа действующей силы равна 20 Дж.
5. Линейная скорость v движения точки на расстоянии r от центра вращающегося диска связана с угловой скоростью ω следующим образом:
v = r * ω
Подставляя значения, получаем:
v = 0.02 * 2 = 0.04 м/с
Ответ: линейная скорость v движения точки равна 0.04 м/с.
6. Чтобы найти ускорение а, нужно найти производную скорости v по времени t. Найдем первую производную:
dv(t)/dt = d(5t + 3t^2)/dt = 5 + 6t
Теперь найдем значение ускорения а в момент времени t = 2 с, подставив t = 2 в выражение для первой производной:
а = 5 + 6t = 5 + 6(2) = 5 + 12 = 17 м/с^2
Ответ: ускорение а равно 17 м/с^2 в момент времени t = 2 с.
7. Чтобы найти время t после начала вращения колеса, когда угловая скорость ω достигает значения 10 рад/c, нужно использовать связь между угловой скоростью и угловым ускорением:
ω = ε * t
где ε - угловое ускорение, t - время. Подставляя значения, получаем:
10 = 1 * t
так как ε = 1 рад/c^2
Ответ: через время t, равное 10 секундам, колесо приобретет угловую скорость ω = 10 рад/c.
8. Чтобы найти время t, когда тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0, будет иметь вдвое меньшую скорость, нужно использовать уравнение движения:
v = v0 - gt
где v - конечная скорость, v0 - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, t - время. Заметим, что вдвое меньшую скорость мы получим, когда v будет равно v0/2. Подставим значения в уравнение и решим его:
v0/2 = v0 - gt
v0 = 2v0 - 2gt
gt = v0
t = v0/g
Ответ: через время t, равное начальной скорости v0, деленной на ускорение свободного падения g, тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0, будет иметь вдвое меньшее значение скорости.