112. частица движется со скоростью v =i +2tj +3t2k. найти: а) перемещение r частицы за первые 2 секунды ее движения; б) модуль скорости в момент времени t =2с.
а) Чтобы найти перемещение r частицы за первые 2 секунды ее движения, нужно проинтегрировать скорость по времени от начального момента времени до 2 секунд:
r = ∫(v)dt, где интегрирование производится от t = 0 до t = 2.
Используя заданную скорость v = i + 2tj + 3t^2k, мы можем интегрировать по каждой компоненте:
Теперь, чтобы найти значения констант, мы можем использовать начальное условие, что в начальный момент времени t = 0, перемещение r = 0. То есть,
r|_0 = it + C1 + t^2j + C2 + t^3k + C3 = 0.
Учитывая, что мы ищем перемещение только за первые 2 секунды, мы можем заменить t на 2 в наших выражениях:
r|_2 = 2i + C1 + 4j + C2 + 8k + C3.
Из начального условия, мы знаем, что r|_2 = 0, поэтому мы можем записать:
0 = 2i + C1 + 4j + C2 + 8k + C3.
Теперь, чтобы найти значения констант, мы можем решить эту систему уравнений. Вычитая первое уравнение из второго и третьего уравнений, мы получим следующее:
2 = C1,
4 = C2,
8 = C3.
Таким образом, мы нашли значения констант:
C1 = 2,
C2 = 4,
C3 = 8.
Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу для перемещения:
r = it + C1 + t^2j + C2 + t^3k + C3.
r = 2i + t^2j + 4 + t^3k + 8.
Из этого выражения, мы видим, что перемещение частицы за первые 2 секунды ее движения равно 2i + t^2j + t^3k + 12.
б) Чтобы найти модуль скорости в момент времени t = 2 с, нужно подставить значение t = 2 в нашу заданную скорость:
v(t = 2) = i + 2(2)j + 3(2^2)k.
v(t = 2) = i + 4j + 12k.
Теперь, чтобы найти модуль скорости, мы можем использовать формулу:
|v| = √(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2),
где |v| - модуль скорости,
v_x, v_y, v_z - компоненты скорости по каждой оси.
В нашем случае, v_x = 1, v_y = 4, v_z = 12, поэтому мы можем вычислить:
Дано: скорость частицы v = i + 2tj + 3t^2k
а) Чтобы найти перемещение r частицы за первые 2 секунды ее движения, нужно проинтегрировать скорость по времени от начального момента времени до 2 секунд:
r = ∫(v)dt, где интегрирование производится от t = 0 до t = 2.
Используя заданную скорость v = i + 2tj + 3t^2k, мы можем интегрировать по каждой компоненте:
∫(i)dt = it + C1,
∫(2tj)dt = t^2j + C2,
∫(3t^2k)dt = t^3k + C3,
где C1, C2 и C3 - константы интегрирования.
Теперь, чтобы найти значения констант, мы можем использовать начальное условие, что в начальный момент времени t = 0, перемещение r = 0. То есть,
r|_0 = it + C1 + t^2j + C2 + t^3k + C3 = 0.
Учитывая, что мы ищем перемещение только за первые 2 секунды, мы можем заменить t на 2 в наших выражениях:
r|_2 = 2i + C1 + 4j + C2 + 8k + C3.
Из начального условия, мы знаем, что r|_2 = 0, поэтому мы можем записать:
0 = 2i + C1 + 4j + C2 + 8k + C3.
Теперь, чтобы найти значения констант, мы можем решить эту систему уравнений. Вычитая первое уравнение из второго и третьего уравнений, мы получим следующее:
2 = C1,
4 = C2,
8 = C3.
Таким образом, мы нашли значения констант:
C1 = 2,
C2 = 4,
C3 = 8.
Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу для перемещения:
r = it + C1 + t^2j + C2 + t^3k + C3.
r = 2i + t^2j + 4 + t^3k + 8.
Из этого выражения, мы видим, что перемещение частицы за первые 2 секунды ее движения равно 2i + t^2j + t^3k + 12.
б) Чтобы найти модуль скорости в момент времени t = 2 с, нужно подставить значение t = 2 в нашу заданную скорость:
v(t = 2) = i + 2(2)j + 3(2^2)k.
v(t = 2) = i + 4j + 12k.
Теперь, чтобы найти модуль скорости, мы можем использовать формулу:
|v| = √(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2),
где |v| - модуль скорости,
v_x, v_y, v_z - компоненты скорости по каждой оси.
В нашем случае, v_x = 1, v_y = 4, v_z = 12, поэтому мы можем вычислить:
|v(t = 2)| = √(1^2 + 4^2 + 12^2),
|v(t = 2)| = √(1 + 16 + 144),
|v(t = 2)| = √(161).
Таким образом, модуль скорости в момент времени t = 2 с составляет √(161) единиц скорости.