2)материальная точка движется вдоль оси x так, что ее координата изменяется по закону:
x(t) = - 3 + 6t – 1,5t2. найдите ее перемещение за время 6 с, скорость в конце 6-ой секунды, а также пройденный за это время путь.
3. материальная точка движется вдоль оси x c постоянным ускорением. в начальный момент времени координата точки равна xo = - 5 м, а ее скорость vo = 10 м/с. через
время = 3 с точка двигалась в положительном направлении оси x со скоростью, равной
v = 4 м/с. где будет находиться эта точка в момент времени 6 с и чему будет равна ее скорость?
4. два тела, расстояние между которыми l= 49 м, начинают двигаться одновременно в
одном направлении: первое из состояния покоя с постоянным ускорением а = 2 м/с2, а
второе, догоняющее первое, равномерно. при каких значениях скорости второе тело
догонит первое?
5. тело движется по прямой с постоянным ускорением. как относятся пути, пройденные
телом: а) за вторую и пятую минуты от начала движения?
б) за n-ую и (n + 1)-ую минуты?
6. на тело, движущееся по прямой с некоторой скоростью, начинает действовать
постоянная тормозящая сила. через время t = 5 с от начала действия силы тело
останавливается, пройдя за последнюю секунду путь s5 = 5 м. какой путь это
тело за третью секунду торможения?
2) Для нахождения перемещения материальной точки за время 6 с, нужно вычислить значение функции x(t) в момент времени t=6. Подставим это значение в данную функцию и вычислим x(6):
x(t) = -3 + 6t - 1.5t^2
x(6) = -3 + 6*6 - 1.5*6^2
x(6) = -3 + 36 - 1.5*36
x(6) = -3 + 36 - 54
x(6) = -3 -18
x(6) = -21
Таким образом, перемещение материальной точки за время 6 с равно -21 м.
Чтобы найти скорость в конце 6-ой секунды, нужно вычислить производную функции x(t) по времени и подставить t=6. Вычислим производную:
v(t) = dx(t)/dt
v(t) = d/dt(-3 + 6t - 1.5t^2)
v(t) = 6 - 3t
Теперь подставим t=6 и вычислим скорость v(6):
v(6) = 6 - 3*6
v(6) = 6 - 18
v(6) = -12 м/с
Чтобы найти пройденный путь за время 6 с, нужно вычислить определенный интеграл функции скорости v(t) на интервале [0, 6]. Вычислим этот интеграл:
s(t) = ∫[0, t] v(t) dt = ∫[0, t] (6 - 3t) dt
Вычислим первообразную от функции (6 - 3t):
∫(6 - 3t) dt = 6t - (3/2)t^2 + C
Теперь подставим значения пределов интегрирования:
s(6) = ∫[0, 6] (6 - 3t) dt = (6*6 - (3/2)*6^2) - (6*0 - (3/2)*0^2)
s(6) = 36 - (3/2)*36 - 0
s(6) = -18 м
Таким образом, пройденный путь за время 6 с равен -18 м.
3) Для определения положения точки в момент времени 6 с и ее скорости, необходимо использовать уравнение равноускоренного движения:
x(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
В данном случае известны начальное положение xo = -5 м, начальная скорость vo = 10 м/с, конечная скорость v = 4 м/с и время τ = 3 с. Подставим эти значения и найдем ускорение a:
-5 + 10*3 + (1/2)*a*3^2 = 4
-5 + 30 + (1/2)*9a = 4
25 + (1/2)*9a = 4
(1/2)*9a = 4 - 25
(1/2)*9a = -21
9a = -42
a = -42/9
a = -4.67 м/с^2
Таким образом, ускорение материальной точки равно -4.67 м/с^2.
Теперь, с учетом полученного значения ускорения, можно найти положение точки в момент времени 6 с:
x(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
x(6) = -5 + 10*6 + (1/2)*(-4.67)*6^2
x(6) = -5 + 60 + (1/2)*(-4.67)*36
x(6) = -5 + 60 + (-2.34)*36
x(6) = -5 + 60 - 84.24
x(6) = 51.76 м
Таким образом, точка будет находиться в момент времени 6 с на расстоянии 51.76 м от начальной точки.
Чтобы найти скорость в момент времени 6 с, нужно использовать формулу равноускоренного движения:
v(t) = vo + a*t
Подставим известные значения и найдем скорость в момент времени 6 с:
v(6) = 10 + (-4.67)*6
v(6) = 10 - 28.02
v(6) = -18.02 м/с
Таким образом, скорость в момент времени 6 с равна -18.02 м/с.
4) В данном случае первое тело движется с постоянным ускорением а = 2 м/с^2, а второе тело догоняет первое тело, двигаясь равномерно.
Чтобы определить условия, при которых второе тело догонит первое, нужно найти время, через которое оба тела окажутся на одной точке. Пусть время, через которое это произойдет, равно t.
Рассмотрим движение каждого тела в отдельности:
Для первого тела:
x1(t) = (1/2)*a*t^2
Для второго тела:
x2(t) = v*t
Так как в результате догоняния движение обоих тел будет иметь одинаковую координату x, можно приравнять эти два уравнения:
(1/2)*a*t^2 = v*t
Решая это уравнение относительно t, найдем время, через которое оба тела окажутся на одной точке:
(1/2)*2*t^2 = v*t
t^2 = (2*v)/2
t^2 = v
t = √v
Таким образом, чтобы второе тело догнало первое, скорость второго тела должна быть равна квадратному корню из скорости первого тела.
5) Пусть первоначальная скорость тела равна vo, ускорение а.
а) Чтобы найти путь, пройденный телом за вторую и пятую минуты от начала движения, нужно применить уравнение равноускоренного движения:
s(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
Для второй минуты (t=2):
s(2) = xo + vo*2 + (1/2)*a*2^2
Для пятой минуты (t=5):
s(5) = xo + vo*5 + (1/2)*a*5^2
б) Чтобы найти путь, пройденный телом за n-ую и (n + 1)-ую минуты, применяем ту же формулу:
s(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
Для n-ой минуты (t=n):
s(n) = xo + vo*n + (1/2)*a*n^2
Для (n + 1)-ой минуты (t=n+1):
s(n+1) = xo + vo*(n+1) + (1/2)*a*(n+1)^2
6) Для нахождения пути, пройденного телом за третью секунду торможения, нужно использовать уравнение движения при притормаживании:
x(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
В данном случае известно время t=5 секунд и путь s5=5 м. Найдем ускорение а:
x(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
s5 = xo + vo*5 + (1/2)*a*5^2
Подставив сведенные значения, найдем ускорение а:
5 = xo + vo*5 + (1/2)*a*5^2
Далее, чтобы найти путь, пройденный телом за третью секунду торможения (s3), нужно воспользоваться найденным значением ускорения а и уравнением движения:
x(t) = xo + vo*t + (1/2)*a*t^2
Для третьей секунды (t=3):
s3 = xo + vo*3 + (1/2)*a*3^2