3) тело массой m вращается вокруг оси проходящей через его центр масс,
согласно заданному закону изменения угла ϕ = ϕ(t) , где a, b, c – постоянные
величины (их размерности определить самостоятельно). найти результирующий
момент сил, действующий на тело в момент времени t, если известен радиус r тела
(для стержня – длина).
вращающееся тело: стержень; закон изменения ϕ = a + b / t + ct^2;
а=5, в = 6; с=18, t=0.2c; m=200г; r=10см
1) Сначала определим размерности постоянных величин a, b и c. Исходя из закона изменения угла ϕ = ϕ(t), угол имеет размерность радиан, а t - время, имеет размерность секунды. Таким образом, размерности для a, b и c будут радианы, радиан/секунду и радиан/секунду^2 соответственно.
2) Найдем значение угла ϕ в момент времени t = 0.2c, подставив значения a = 5, b = 6, c = 18 и t = 0.2c в формулу:
ϕ = a + b / t + ct^2
= 5 + 6 / 0.2 + 18 * (0.2)^2
= 5 + 30 + 18 * 0.04
= 5 + 30 + 0.72
= 35.72 радиан
3) Теперь найдем период обращения тела T, используя формулу T = 2πr/v, где r - радиус тела, v - скорость тела, а π - математическая константа приближенно равная 3.14159.
Переведем массу тела m из граммов в килограммы:
m = 200 г = 200 / 1000 кг = 0.2 кг
Так как тело вращается вокруг оси, вращение происходит равномерно, а значит скорость можно найти как v = 2πr/T:
v = 2πr/T
= 2 * 3.14159 * 0.1 / T
= 0.62832 / T м/с
4) Найдем период обращения T, используя формулу заданного закона изменения угла:
ϕ = a + b / t + ct^2
35.72 = 5 + 6 / T + 18 * T^2
18T^3 + 6T - 30.72 = 0
Решив уравнение численно или графически, найдем значение периода обращения тела T.
5) Найдем угловую скорость тела ω, используя формулу ω = Δϕ/Δt, где Δϕ - изменение угла, Δt - изменение времени.
Для нашего случая, Δϕ = ϕ - 0 (так как в начальный момент времени угол равен нулю), и Δt = t - 0 (так как в начальный момент времени время равно нулю). Таким образом, формула становится:
ω = Δϕ/Δt
= ϕ/t
= 35.72/0.2c
= 35.72/0.2 * 299792458 м/с
≈ 298101970.7 рад/с
6) Найдем момент инерции I тела относительно оси вращения. Момент инерции - это физическая величина, которая определяет эффективность распределения массы относительно оси вращения. Для стержня, момент инерции I будет равен 1/3*m*r^2, где m - масса тела, r - радиус тела.
Переведем радиус r из сантиметров в метры:
r = 10 см = 10 / 100 м = 0.1 м
Теперь найдем момент инерции I:
I = 1/3*m*r^2
= 1/3 * 0.2 * (0.1)^2
= 0.00333 кг * м^2
7) Найдем результирующий момент сил τ, действующий на тело. Результирующий момент сил связан с угловым ускорением α тела и моментом инерции I, формулой τ = I * α.
Мы уже нашли угловую скорость ω в предыдущем шаге. Теперь найдем угловое ускорение α с помощью закона изменения угла. Угловое ускорение можно найти как производную от закона изменения угла по времени:
α = dϕ/dt
= d(a + b/t + ct^2)/dt
= (b/t^2 + 2ct) * dt/dt
= b/t^2 + 2ct
В момент времени t = 0.2c, подставим значения a = 5, b = 6, c = 18 и t = 0.2c в формулу:
α = 6/(0.2)^2 + 2*18
= 6/0.04 + 36
= 150 + 36
= 186 рад/с^2
Теперь найдем результирующий момент сил τ:
τ = I * α
= 0.00333 * 186
≈ 0.618 рад * Кг * м^2/с^2
Итак, результирующий момент сил, действующий на тело в момент времени t = 0.2c, при заданных условиях, составляет примерно 0.618 радиан * килограмм * метр^2/секунда^2.