Поднимаясь по желобу на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию W = mgh.
При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0 и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует: X0^2 + (R-h)^2 = R^2 Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2 Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h X0^2 = 2*R*h
Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия: h = X0^2/2R
Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид: W = m*g*X0^2/2R
Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна: T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2 поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.
При этом максимальная линейная скорость шарика V0 = Omega*r, где r = радиус шарика => Omega = V0/r
T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2
Если шарик совершает гармонические колебания по закону x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)
Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.
Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид: T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).
Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен I = (2/5)mr^2, то
T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2
В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.
(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:
(7/5)*omega^2 = g/R
и окончательно omega^2 = (5/7)*(g/R) и omega = sqrt(5g/7R).
Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi niu = sqrt(5g/7R)/2Pi
1) Кладём линейку на карандаш как сказано в задании.
2) Возьмём четыре монеты по 1 рублю.
3) Кладём 1 монету на 4 см с одной стороны от точки опоры.
4) Кладём стопку из трёх монет на 1 см от точки опоры.
5) Если что-то где-то перевешивает чуть-чуть сдвигаем.
6) Собственно измеряем длину плеч, т.е. расстояние от точки опоры до монет с обеих сторон.
7) Правило рычага - рычаг находится в равновесии, когда силы, действующие на него обратно пропорциональны плечам этой силы.
F1/F2 = l2/l1
Подставляем числа и всё))
И я не вылитый художник ;)
Подробнее - на -
Объяснение:
W = mgh.
При малых смещениях можно считать, что амплитуда колебаний по дуге желоба l равна проекции этой дуги на горизонталь X0. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом желоба R, амплитуды горизонтального смещения X0 и проекции крайнего положения шарика на вертикаль (R-h) следует:
X0^2 + (R-h)^2 = R^2
Отсюда получим: X0^2 = 2*R*h - h^2
Учитывая, что при малых колебаниях h^2 << 2*R*h
X0^2 = 2*R*h
Таким образом, получаем выражение для h через амплитуду X0 при малых отклонениях от положения равновесия:
h = X0^2/2R
Потенциальная энергия, максимальная при крайнем положении шарика обретает вид:
W = m*g*X0^2/2R
Теперь получим значение максимальной кинетической энергии шарика (при прохождении положения равновесия). Она равна:
T = m*V0^2/2 + I*Omega^2/2
поскольку, коль шарик катится по жёлобу без проскалзывания, мы должны, помимо кин энергии поступательного движения шарика массы m, учитывать ещё и энергию вращения шарика с моментом инерции I и угловой скоростью вращения шарика вокруг его собственной оси Omega.
При этом максимальная линейная скорость шарика
V0 = Omega*r, где r = радиус шарика =>
Omega = V0/r
T = m*V0^2/2 + I*(V0/r)^2/2
Если шарик совершает гармонические колебания по закону
x(t) = X0*Sin(omega*t) то его скорость должна меняться по закону
v(t) = x'(t) = omega*X0*Cos(omega*t)
Таким образом, максимальная линейная скорость шарика (амплитуда скорости) равна
V0 = omega*X0, где omega - циклическая частота колебаний шарика.
Выражение для максимальной кинетической энергии шарика принимает вид:
T = m*(omega*X0)^2/2 + I*(omega*X0)^2/(2r^2).
Поскольку момент инерции шарика радиуса r и массы m равен
I = (2/5)mr^2, то
T = m*(omega*X0)^2/2 + (2/5)mr^2*(omega*X0)^2/(2r^2) = (7/10)m*(omega*X0)^2
В колебательной системе максимальное значение потенциальной энергии W равно максимальной величине кинетической энергии T.
(7/10)m*(omega*X0)^2 = m*g*X0^2/2R
отсюда, сокращая в обеих частях равенства m и X0 получаем:
(7/5)*omega^2 = g/R
и окончательно
omega^2 = (5/7)*(g/R)
и
omega = sqrt(5g/7R).
Частота такого "маятника" niu = omega/2Pi
niu = sqrt(5g/7R)/2Pi
Период T = 1/niu = 2Pi*sqrt(7R/5g)