Бесконечный цилиндр радиусом R=0,1м, заряжен с плотностью заряда , где с=10 нКл/м7/2, r-расстояние до оси цилиндра. Используя теорему Гаусса найти напряженность электростатического поля на расстоянии L1=0,05 м и L2=0,3 от оси цилиндра. Построить график E(r).
Для начала, используем теорему Гаусса для нахождения напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса гласит, что поток электрического поля через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную ε₀.
Так как цилиндр бесконечен, то возьмем цилиндрическую поверхность радиусом r и высотой h=1 м, которая будет перпендикулярна оси цилиндра. Поток электрического поля через эту поверхность можно выразить следующим образом:
∮E*dA = E∮dA = E * 2πrh = Q(in)/ε₀,
где E - напряженность электростатического поля, dA - элемент поверхности цилиндра, Q(in) - заряд, заключенный внутри поверхности, ε₀ - электрическая постоянная.
Цилиндрическая поверхность является замкнутой поверхностью, потому что она не имеет выбоин или противоречий, также она полностью окружает область пространства, где мы рассматриваем электростатическое поле. Теперь мы можем записать:
E * 2πrh = ∫dQ/ε₀ = Q(in)/ε₀,
где Q(in) - заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра.
Для расчета заряда, заключенного внутри поверхности цилиндра, нужно вспомнить, как рассчитывается заряд в объеме. В данном случае плотность заряда равна с=C/m^7/2, где m - масса, тогда заряд можно записать так:
Q(in) = ∫ρ(r)dV,
где ρ(r) - плотность заряда в данной точке цилиндра, dV - элемент объема цилиндра.
Для расчета элемента объема, возьмем тонкий элемент цилиндра, который образован элементом поверхности, высотой dh и толщиной dr. Тогда элемент объема можно записать следующим образом:
dV = πr²dh = πr²dr.
Теперь мы можем проинтегрировать по всем элементам объема цилиндра и записать полную формулу для заряда:
Q(in) = ∫ρ(r)dV = ∫∫ρ(r)πr²drdh.
Зная плотность заряда ρ(r) = c/r^(7/2), можем записать:
Q(in) = ∫∫c/r^(7/2) * πr²drdh = cπ∫∫r^(1/2)drdh = cπ∫(r^(5/2)/5/2)|^1_0 * h|^1_0 = cπ * (2/5) * (1^(5/2) - 0^(5/2)) * (1 - 0) = cπ * (2/5) * (1^(5/2) - 0) = cπ * (2/5).
Теперь, зная заряд Q(in), мы можем выразить напряженность электростатического поля E:
E * 2πrh = Q(in)/ε₀,
E = Q(in)/(2πrh * ε₀).
Теперь мы готовы решить задачу и найти напряженность электростатического поля на заданных расстояниях от оси цилиндра.
При L1=0.05 м:
E1 = Q(in)/(2πr1h * ε₀) = cπ * (2/5)/(2πr1 * 1 * ε₀) = c/(5r1 * ε₀) = 10nC/(5 * 0.05 * 8.85 * 10^(-12)) = 10nC/(2.22 * 10^(-11)) = 45.05 * 10^10 / Кл = 45.05 * 10^10 / В/м = 4.505 * 10^12 В/м.
При L2=0.3 м:
E2 = Q(in)/(2πr2h * ε₀) = cπ * (2/5)/(2πr2 * 1 * ε₀) = c/(5r2 * ε₀) = 10nC/(5 * 0.3 * 8.85 * 10^(-12)) = 10nC/(1.33 * 10^(-11)) = 75.19 * 10^10 / Кл = 75.19 * 10^10 / В/м = 7.519 * 10^12 В/м.
Для построения графика E(r) нарисуем оси координат. По оси r отложим значения расстояния от оси цилиндра, а по оси E отложим значения напряженности электростатического поля.
Построение графика:
1. Для начала значения E(r) для L1=0.05 м.
2. На оси r укажите значения 0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2 и 0.3.
3. Рассчитайте соответствующие значения напряженности электростатического поля E1 по формуле E1 = c/(5r1 * ε₀) и отметьте их на графике.
4. Произведите аналогичные действия для значения L2=0.3 м и постройте на графике соответствующие значения напряженности электростатического поля E2.
5. Соедините полученные точки графика, чтобы получить гладкую зависимость E(r).
6. Подпишите оси координат и график.
Таким образом, мы воспользовались теоремой Гаусса и рассчитали значения напряженности электростатического поля на заданных расстояниях от оси цилиндра. Затем построили график E(r).