Поскольку перегородка проницаема для водорода, то водород в итоге распределится по разные стороны от перегородки с равной концентрацией. При равной температуре и концентрации по разные стороны перегородки по закону Больцмана – парциальное давление водорода окажется одинаковым, а стало быть, суммированное по обеим сторонам воздействие сил парциального давления водорода, которое будет испытывать перегородка именно за счёт водорода – окажется равным нулю. Учитывая это, воздействие водорода на конечное равновесное положение перегородки – учитывать вообще не нужно. При температуре 100°С, парциальное давление насышенного водяного пара, которое будет поддерживаться в правой секции окажется равным атмосферному, если для его насышенности будет достаточно массы воды (проверим это чуть позже). Стало быть и парциальное давление гелия в левой секции окажется равным атмосферному Po. Теперь легко посчитать через уравнение идеального газа и конечный объём Vл левой секции: Po Vл = νRT ; Vл = νRT/Po ;
Убедимся, что массы воды в правой секции Vп достаточно: Vп = (m/μ) RT/Po , где m – масса испарившейся воды, а μ – её молярная масса ; m = μPo Vп /(RT) ; учитвая, что Vп = V – Vл, получим: m = μPo ( V – Vл )/(RT) = μPo ( V – νRT/Po )/(RT) ; m = μ ( PoV/(RT) – ν ) ;
При этом должно выполняться: 0 < m < M, где М – масса всей воды: 0 < μ ( PoV/(RT) – ν ) < M ; 0 < PoV/(RT) – ν < M/μ ; –M/μ < ν – PoV/(RT) < 0 ; PoV/(RT)–M/μ < ν < PoV/(RT) ; 100 000 * 0.15 / ( 8.315 * 373 ) – 90/18 < ν < 100 000 * 0.15 / ( 8.315 * 373 ) ; 0 < ν < 4.84 , что, как мы понимаем, выполнено ( ν = 4 моля ), а значит, воды в правой секции достаточно для достижения парциальным давлением насыщенного пара – значения атмосферного давления и не слишком много, так что давление не превысит атмосферное, а часть воды так и останется жидкой.
Иначе, условие возникновения устойчивого парциального давления насыщенного пара со значением атмосферного – можно проверить так: 0 < m < M, где М – масса всей воды: 0 < μ ( PoV/(RT) – ν ) < M ; 0 < PoV/(RT) – ν < M/μ ; ν < PoV/(RT) < M/μ + ν ; νR ( t° + 273 ) / Po < V < R ( t° + 273 ) ( M/μ + ν ) / Po 4 * 8.315 * 373 / 100 000 ; / Po < V < 8.315 * 373 ( 90/18 + 4 ) / 100 000 ; 0.124 м³ < V < 0.279 м³ ; 124 л < V < 279 л , что, как мы понимаем, выполнено, а значит, воды в правой секции достаточно для достижения парциальным давлением насыщенного пара – значения атмосферного давления и не слишком много, так что давление не превысит атмосферное, а часть воды так и останется жидкой.
Тогда: Vл = νR ( t° + 273 ) / Po ;
Вычислим объём левой части сосуда после установления равновесия: Vл = 4 * 8.315 * 373 / 100 000 ≈ 0.124 м³ = 124 л .
*** любопытно, что вода в правой части сосуда при этом кипеть не будет, поскольку там будет находится ещё и водород с парциальным давлением P = νRT/V = 4*8.315*373/0.15 ≈ 83 кПа, так что общее давление, как в левой, так и в правой части сосуда окажется равным 183 кПа ≈ 1.83 атм, а при таком давлении вода кипит при несколько большей температуре, примерно при 116°С.
Поскольку внешних сил нет (мы пренебрегаем сопротивлением воды), то стало быть общий импульс системы этих трёх тел остаётся неизменным. Будем рассматирвать данную систему тел в модели из двух материальных точек m1 и m2, находящихся на концах тонкой спицы длины L и массой M, расположенной вдоль оси Ox, перпендикулярной g. Таким образом мы считаем, что все силы тяжести этих тел скомпенсированы силой реакции лодки, а так же и силой Архимеда, и далее вертикальные силы и импульсы нас интересовать не будут. Раскачивание лодки при перемещении рыбаков мы, также, в расчёт не принимаем. Итак, как было сказано выше, импульс системы всегда равен нулю. Тоже верно и для проекции импульса по оси Ох: pх = 0 ; pх = MVx + m1 v1x + m2 v2x – в любой момент времени, где: Vx = ΔХ/Δt – проекция (знаковая) скорости лодки на ось Ох, имеющей координату Х в любой момент времени ; v1x = Δx1/Δt – проекция (знаковая) скорости перого рыбака массы m1 на ось Ох, имеющего координату x1 в любой момент времени ; v2x = Δx2/Δt – проекция (знаковая) скорости второго рыбака массы m2 на ось Ох, имеющего координату x2 в любой момент времени ; Δt > 0 – везде в вышеприведённых рассуждениях любой общий небольшой промежуток времени ; pх = M (ΔХ/Δt) + m1 (Δx1/Δt) + m2 (Δx2/Δt) = 0 ; умножим всё на Δt и получим: M ΔХ + m1 Δx1 + m2 Δx2 = 0 ; за любой небольшой промежуток времени, а значит и вообще за любой промежуток времени. Далее за ΔХ, Δx1 и Δx2 – будем принимать смещения рыбаков относительно воды/земли за всё время «рокировки» рыбаков. За всё время «рокировки» рыбаков, лодка относительно воды/земли сместится на ΔХ, а первый рыбак сместится на +L относительно лодки, а значит: отностельно воды/земли первый рыбак сместиться на величину: ΔХ + L = Δx1 ; За всё время «рокировки» рыбаков, лодка относительно воды/земли сместится на ΔХ, а второй рыбак сместится на –L относительно лодки, а значит: отностельно воды/земли второй рыбак сместиться на величину: ΔХ – L = Δx2 ; Подcтавим два предыдущих выражения для Δx1 и Δx2 в предыдущее уравнение и получим: M ΔХ + m1 ( ΔХ + L ) + m2 ( ΔХ – L ) = 0 ; M ΔХ + m1 ΔХ + m1 L + m2 ΔХ – m2 L = 0 ; ( M + m1 + m2 ) ΔХ = L ( m2 – m1 ) ; откуда: ΔХ = L (m2–m1)/(M+m1+m2) . В частности, если рыбаки имеют одинаковую массу, то лодка не переместиться. В частности, если первый левый рыбак имеет большую массу, то лодка переместиться налево. А если первый левый рыбак имеет меньшую массу, то лодка переместиться направо.
Учитывая это, воздействие водорода на конечное равновесное положение перегородки – учитывать вообще не нужно.
При температуре 100°С, парциальное давление насышенного водяного пара, которое будет поддерживаться в правой секции окажется равным атмосферному, если для его насышенности будет достаточно массы воды (проверим это чуть позже). Стало быть и парциальное давление гелия в левой секции окажется равным атмосферному Po.
Теперь легко посчитать через уравнение идеального газа и конечный объём Vл левой секции:
Po Vл = νRT ;
Vл = νRT/Po ;
Убедимся, что массы воды в правой секции Vп достаточно:
Vп = (m/μ) RT/Po , где m – масса испарившейся воды, а μ – её молярная масса ;
m = μPo Vп /(RT) ; учитвая, что Vп = V – Vл, получим:
m = μPo ( V – Vл )/(RT) = μPo ( V – νRT/Po )/(RT) ;
m = μ ( PoV/(RT) – ν ) ;
При этом должно выполняться:
0 < m < M, где М – масса всей воды:
0 < μ ( PoV/(RT) – ν ) < M ;
0 < PoV/(RT) – ν < M/μ ;
–M/μ < ν – PoV/(RT) < 0 ;
PoV/(RT)–M/μ < ν < PoV/(RT) ;
100 000 * 0.15 / ( 8.315 * 373 ) – 90/18 < ν < 100 000 * 0.15 / ( 8.315 * 373 ) ;
0 < ν < 4.84 , что, как мы понимаем, выполнено ( ν = 4 моля ), а значит, воды в правой секции достаточно для достижения парциальным давлением насыщенного пара – значения атмосферного давления и не слишком много, так что давление не превысит атмосферное, а часть воды так и останется жидкой.
Иначе, условие возникновения устойчивого парциального давления насыщенного пара со значением атмосферного – можно проверить так:
0 < m < M, где М – масса всей воды:
0 < μ ( PoV/(RT) – ν ) < M ;
0 < PoV/(RT) – ν < M/μ ;
ν < PoV/(RT) < M/μ + ν ;
νR ( t° + 273 ) / Po < V < R ( t° + 273 ) ( M/μ + ν ) / Po
4 * 8.315 * 373 / 100 000 ; / Po < V < 8.315 * 373 ( 90/18 + 4 ) / 100 000 ;
0.124 м³ < V < 0.279 м³ ;
124 л < V < 279 л , что, как мы понимаем, выполнено, а значит, воды в правой секции достаточно для достижения парциальным давлением насыщенного пара – значения атмосферного давления и не слишком много, так что давление не превысит атмосферное, а часть воды так и останется жидкой.
Тогда:
Vл = νR ( t° + 273 ) / Po ;
Вычислим объём левой части сосуда после установления равновесия:
Vл = 4 * 8.315 * 373 / 100 000 ≈ 0.124 м³ = 124 л .
*** любопытно, что вода в правой части сосуда при этом кипеть не будет, поскольку там будет находится ещё и водород с парциальным давлением P = νRT/V = 4*8.315*373/0.15 ≈ 83 кПа, так что общее давление, как в левой, так и в правой части сосуда окажется равным 183 кПа ≈ 1.83 атм, а при таком давлении вода кипит при несколько большей температуре, примерно при 116°С.
Итак, как было сказано выше, импульс системы всегда равен нулю. Тоже верно и для проекции импульса по оси Ох:
pх = 0 ;
pх = MVx + m1 v1x + m2 v2x – в любой момент времени, где:
Vx = ΔХ/Δt – проекция (знаковая) скорости лодки на ось Ох, имеющей координату Х в любой момент времени ;
v1x = Δx1/Δt – проекция (знаковая) скорости перого рыбака массы m1 на ось Ох, имеющего координату x1 в любой момент времени ;
v2x = Δx2/Δt – проекция (знаковая) скорости второго рыбака массы m2 на ось Ох, имеющего координату x2 в любой момент времени ;
Δt > 0 – везде в вышеприведённых рассуждениях любой общий небольшой промежуток времени ;
pх = M (ΔХ/Δt) + m1 (Δx1/Δt) + m2 (Δx2/Δt) = 0 ; умножим всё на Δt и получим:
M ΔХ + m1 Δx1 + m2 Δx2 = 0 ; за любой небольшой промежуток времени, а значит и вообще за любой промежуток времени.
Далее за ΔХ, Δx1 и Δx2 – будем принимать смещения рыбаков относительно воды/земли за всё время «рокировки» рыбаков.
За всё время «рокировки» рыбаков, лодка относительно воды/земли сместится на ΔХ, а первый рыбак сместится на +L относительно лодки, а значит: отностельно воды/земли первый рыбак сместиться на величину:
ΔХ + L = Δx1 ;
За всё время «рокировки» рыбаков, лодка относительно воды/земли сместится на ΔХ, а второй рыбак сместится на –L относительно лодки, а значит: отностельно воды/земли второй рыбак сместиться на величину:
ΔХ – L = Δx2 ;
Подcтавим два предыдущих выражения для Δx1 и Δx2 в предыдущее уравнение и получим:
M ΔХ + m1 ( ΔХ + L ) + m2 ( ΔХ – L ) = 0 ;
M ΔХ + m1 ΔХ + m1 L + m2 ΔХ – m2 L = 0 ;
( M + m1 + m2 ) ΔХ = L ( m2 – m1 ) ;
откуда:
ΔХ = L (m2–m1)/(M+m1+m2) .
В частности, если рыбаки имеют одинаковую массу, то лодка не переместиться.
В частности, если первый левый рыбак имеет большую массу, то лодка переместиться налево.
А если первый левый рыбак имеет меньшую массу, то лодка переместиться направо.