Человек рассматривает своё собственное изображение в плоскопараллельной пластине толщиной h=15см, изготовленной из стекла с показателем преломления n=1,5. при этом он наблюдает целый ряд изображений своего лица, отстоящих на одинаковом расстоянии l друг от друга. найдите l.
Для начала, рассмотрим, что происходит с лучами света при их прохождении через плоскопараллельную пластину толщиной h. При этом происходит два отражения: одно от внешней границы пластины, а второе от внутренней границы. При отражении от внешней границы не происходит изменения направления лучей, только уменьшается их интенсивность. При отражении от внутренней границы лучи подчиняются закону преломления и выходят из пластины в другом направлении.
Поскольку мы рассматриваем изображение своего лица, лучи света, исходящие от каждой его точки, должны проходить через пластину, отражаться от внешней и внутренней границ пластины и затем пересекаться в одной точке - точке наблюдения. Именно это и обусловливает появление ряда изображений лица на пластине.
Теперь перейдем к расчетам. Пусть S - исходное положение исследуемой точки на лице человека, A1 - положение изображения точки S от первого отражения, B1 - положение изображения точки S от второго отражения внешней границы пластины, B2 - положение изображения точки S от первого отражения от внутренней границы пластины, A2 - положение искомого изображения точки S после полного прохождения пластины.
Зная, что пластина толщиной h является плоскопараллельной и показатель преломления стекла n=1,5, можно сделать следующие выводы:
1) Будучи внутри пластины, лучи, идущие от точки S, не изменяют направления и выходят соответственно в точку B2, которая находится также на прямой линии с S и перпендикулярна пластине.
2) После выхода из пластины лучи идут под углом к поверхности пластины, определяемым законом преломления: sin(a) = sin(b)/n, где a - угол падения, b - угол преломления, n - показатель преломления среды.
Учитывая, что влияние пластины на луч при прохождении внутри ее пластин пренебрежимо мало, можно считать, что угол падения равен углу преломления.
Тогда, будучи уже снаружи пластины, лучи будут идти под таким же углом, но уже падать на внутреннюю границу пластины.
То есть, угол падения на внутренней границе пластины будет равен углу преломления после отражения от внешней границы: b = a1.
Из рисунка 1 вытекает, что угол A1B1S равен углу A2B2S. Также, учитывая, что показатель преломления стекла равен n=1,5, можно записать следующее условие:
\[tg(A1B1S) = \frac{{AB1}}{{SB1}} = \frac{{B1S}}{{AB1}}\]
\[tg(A2B2S) = \frac{{AB2}}{{SB2}} = \frac{{B2S}}{{AB2}}\]
А также, с учетом равенства углов A1B1S и A2B2S:
\[tg(A1B1S) = tg(A2B2S) = \frac{{B1S}}{{AB1}} = \frac{{B2S}}{{AB2}}\]
Теперь рассмотрим большой треугольник SB1B2. Из него можем вывести следующее соотношение:
\[SB1 - SB2 = h\]
С учетом основного свойства треугольников AB1B2 и SAB2 (они подобны, т.к. угол A2B2S равен углу A1B1S):
находим:
\[\frac{{AB1}}{{AB2}} = \frac{{SB1 - SB2}}{{SB2}}\]
Домнож
\[AB1 \cdot SB2 = AB2 \cdot SB1 - AB2 \cdot SB2\]
\(AB1 \cdot SB2 = AB2 \cdot SB1 - AB2 \cdot SB2\)
\[AB2 \cdot SB1 = AB2 \cdot SB2 + AB1 \cdot SB2\]
\[AB2 \cdot (SB1 - SB2) = AB1 \cdot SB2\]
\[AB2 \cdot h = AB1 \cdot SB2\]
соединяем последние два уравнения:
\(\frac{{AB1 \cdot SB2}}{{SB1 - SB2}} = AB1\)
С учетом равенства углов A1B1S и A2B2S, можем записать:
\(AB2 \cdot SB2 = AB1 \cdot SB2\)
Домножим последнее равенство на \((SB1 - SB2)\):
\(AB2 \cdot SB2 \cdot (SB1 - SB2) = AB1 \cdot SB2 \cdot (SB1 - SB2)\)
\(AB2 \cdot SB1 \cdot SB2 - AB2 \cdot SB2^2 = AB1 \cdot SB2 \cdot SB1 - AB1 \cdot SB2^2\)
\(AB2 \cdot h = AB1 \cdot SB1 - AB1 \cdot SB2 = AB1 \cdot (SB1 - SB2) = h \cdot AB1\)
Обозначим \(AB1 = l\), получим:
\[l = h\]
Итак, мы получили, что размер изображения на пластине l равен ее толщине h.
Ответ: l=15см.