Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается с частотой ν1=15 с -1 . С какой угловой скоростью ω2 будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол φ=180° и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 8 кг м 2 , радиус колеса R = 25 см. Массу колеса m = 2,5 кг можно считать равномерно распределенной по ободу. Считать, что центр тяжести человека с колесом находится на, оси платформы
Моментом импульса L неподвижной системы считается произведение момента инерции J на угловую скорость ω.
Используя закон сохранения момента импульса, мы можем записать:
L1 = L2
L1 - момент импульса системы в начальный момент времени (человек держит стержень вертикально вдоль оси вращения скамьи)
L2 - момент импульса системы в конечный момент времени (колесо окажется на нижнем конце стержня)
Момент импульса (L) можно вычислить, умножив момент инерции (J) на угловую скорость (ω). Выражение для момента инерции J зависит от распределения массы колеса.
1. Расчет момента инерции колеса:
У нас есть масса колеса m и его радиус R. Момент инерции I колеса можно вычислить по формуле для цилиндра, так как колесо можно приближенно представить в виде цилиндра:
I = (1/2) * m * R^2
I = (1/2) * 2.5 кг * (0.25 м)^2
I = 0.3125 кг * м^2
2. Расчет момента инерции человека и скамьи:
У нас есть суммарный момент инерции J человека и скамьи, который равен 8 кг * м^2.
3. Расчет момента импульса в начальный момент времени:
L1 = J * ω1
L1 = 8 кг * м^2 * ω1
Теперь перейдем к концу времени, когда стержень повернут на угол 180° и колесо окажется на нижнем конце стержня.
4. Расчет угловой скорости колеса в конечный момент времени:
Можно приближенно считать, что в момент поворота стержня все его угловая скорость передается колесу. То есть, угловая скорость колеса будет такой же, что и угловая скорость стержня (ω1).
Таким образом, ω2 = ω1.
5. Расчет момента импульса в конечный момент времени:
L2 = (J + I) * ω2
L2 = (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2) * ω2
У нас есть уравнение:
L1 = L2
8 кг * м^2 * ω1 = (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2) * ω2
Мы можем решить это уравнение относительно ω2:
8 кг * м^2 * ω1 = (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2) * ω2
Делим обе части уравнения на (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2):
ω2 = (8 кг * м^2 * ω1) / (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2)
Подставляем полученные значения:
ω2 = (8 кг * м^2 * ω1) / (8 кг * м^2 + 0.3125 кг * м^2)
ω2 = (8 * 0.3125) / (8 + 0.3125)
ω2 = 2.5 / 8.3125
ω2 ≈ 0.30 с^-1
Таким образом, скамья будет вращаться с угловой скоростью около 0.30 с^-1, когда человек повернет стержень на угол 180° и колесо окажется на нижнем конце стержня.