Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V=41,89м³(V≈40/3π).Найти радиус цилиндра, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.
У нас есть цистерна с формой прямого кругового цилиндра, завершенного полушаром. Нам нужно найти радиус цилиндра, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.
Для начала, давайте разобъем цистерну на две части - цилиндр и полушар. Полная поверхность цистерны будет состоять из площади цилиндра и площади полушара.
Площадь цилиндра рассчитывается по формуле S₁ = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.
Легко заметить, что высота цилиндра равна диаметру полушара, обозначим её как d.
Выразим h через d:
d = 2r (так как диаметр полушара равен удвоенному радиусу цилиндра)
h = d = 2r
Теперь можем выразить площадь цилиндра через r:
S₁ = 2πrh = 2πr * 2r = 4πr²
Площадь полушара рассчитывается по формуле S₂ = 2πr², где r - радиус полушара.
Теперь суммируем площади цилиндра и полушара, чтобы получить полную поверхность цистерны:
S = S₁ + S₂ = 4πr² + 2πr² = 6πr²
У нас уже есть формула для полной поверхности цистерны, теперь давайте найдем точку минимума для этой функции.
Найдем производную функции S по r и приравняем её к нулю:
dS/dr = 12πr = 0
Теперь решим это уравнение относительно r:
12πr = 0
r = 0
Заметим, что это не является валидным решением, так как радиус не может быть равен нулю.
Теперь остается только проверить границы области. Мы знаем, что радиус не может быть отрицательным и должен быть меньше, чем значение, при котором объем имеет минимальное значение.
В данном случае объем цистерны V=41,89м³. Используя данную формулу, мы можем найти значение радиуса:
Теперь найдем квадратный корень из обеих частей выражения, чтобы найти значение r:
r = √0,3331
r ≈ 0,576 м (округляем до трех знаков после запятой)
Таким образом, получаем, что радиус цилиндра должен быть примерно 0,576 метра (округленное значение) при условии, что оно должно быть положительным и меньше, чем значение, при котором объем имеет минимальное значение.
У нас есть цистерна с формой прямого кругового цилиндра, завершенного полушаром. Нам нужно найти радиус цилиндра, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.
Для начала, давайте разобъем цистерну на две части - цилиндр и полушар. Полная поверхность цистерны будет состоять из площади цилиндра и площади полушара.
Площадь цилиндра рассчитывается по формуле S₁ = 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.
Легко заметить, что высота цилиндра равна диаметру полушара, обозначим её как d.
Выразим h через d:
d = 2r (так как диаметр полушара равен удвоенному радиусу цилиндра)
h = d = 2r
Теперь можем выразить площадь цилиндра через r:
S₁ = 2πrh = 2πr * 2r = 4πr²
Площадь полушара рассчитывается по формуле S₂ = 2πr², где r - радиус полушара.
Теперь суммируем площади цилиндра и полушара, чтобы получить полную поверхность цистерны:
S = S₁ + S₂ = 4πr² + 2πr² = 6πr²
У нас уже есть формула для полной поверхности цистерны, теперь давайте найдем точку минимума для этой функции.
Найдем производную функции S по r и приравняем её к нулю:
dS/dr = 12πr = 0
Теперь решим это уравнение относительно r:
12πr = 0
r = 0
Заметим, что это не является валидным решением, так как радиус не может быть равен нулю.
Теперь остается только проверить границы области. Мы знаем, что радиус не может быть отрицательным и должен быть меньше, чем значение, при котором объем имеет минимальное значение.
В данном случае объем цистерны V=41,89м³. Используя данную формулу, мы можем найти значение радиуса:
V = (40/3)πr²
41,89 = (40/3)πr²
распишем данное выражение:
41,89 = (40/3)πr²
41,89 = 40/3 * 3,14 * r²
41,89 = 125,6 * r²
41,89/125,6 = r²
0,3331 = r²
Теперь найдем квадратный корень из обеих частей выражения, чтобы найти значение r:
r = √0,3331
r ≈ 0,576 м (округляем до трех знаков после запятой)
Таким образом, получаем, что радиус цилиндра должен быть примерно 0,576 метра (округленное значение) при условии, что оно должно быть положительным и меньше, чем значение, при котором объем имеет минимальное значение.