Дан невесомый рычаг с двумя противовесами на каждой стороне. Массы противовесов m1=5 кг, m2=82 кг и m3=11 кг. Какова масса противовеса m4, если рычаг находится в равновесии?

Дано:                        Fт = Fа (тк бутылка находится в равновесии)        
m бут. = 0.36 кг        (1) Fт = (m бут.+ m пр. + m песк.) *g
m пр. = 0.03 кг          (2) Fа = pgV 
d1 = 0.03 м               (3) m песк. = p песк. * V песк.
d2 = 0.08 м               (4) V = h/2*pi*r²
h = 0.24 м                 Приравняем (1) и (2), подставив (3) в (1) и (4) в (2):
h1/h2 = 1/2               (m бут. + m пр. + p песк. * V песк.) *g = p*g*h/2*pi*r²
p = 1020 кг/ м³          Сокращаем на g, оставляем V песка в правой части,
         остальное переносим:
V песка - ?               V песк. = p*h/2*pi*r² - m бут. - m пр./ p песк.
                                Плотность сухого песка p песк. =  1440 кг/ м³
                               Радиус нам нужен нижней части бутылки r = d2/2
                               Подставляем значения в формулу: 
        V песк. = 1020 кг/ м³  *0.12 м*3.14*0.04² м - 0.36 кг - 0.03 кг / 1440 кг/ м³ =                     = 1.56*10^-4 м³ = 156 см³.
Возможно, плотность песка нужно было брать другую, но т.к. везде написана разная, я взял плотность сухого песка.

1/d+1/f=1/F - формула тонкой линзы
d+f=a - расстояние между предметом и изображением неизменно
d=a-f - делаем замену
1/(a-f)+1/f=1/F - чтобы получить уравнение относительно f
(f+a-f)*F = (a-f)*f - упрощаем
(f+a-f)*F = (a-f) - упрощаем
f^2-a*f+a*F=0 - квадратное уравнение имеет 2 корня
D=a^2-4a*F
f1=(a+корень(a^2-4a*F))/2 - первый корень
d1=a-f1=(a-корень(a^2-4a*F))/2 - соответствующее значение для d
f2=(a-корень(a^2-4a*F))/2 - второй корень
d2=a-f2=(a+корень(a^2-4a*F))/2 - соответствующее значение для d
заметим, что d1 = f2 и d2 = f1
h1/h0=f1/d1 - величина изображения и предмета связаны между собой
h2/h0=f2/d2 - величина изображения и предмета связаны между собой
h1/h0 * h2/h0 = f1/d1 * f2/d2 = 1
h1/h0 * h2/h0 = 1
h0 = корень( h1*h2) - ответ )))