Задача 1. Мяч брошен с высоты 10 метров вертикально вверх со скоростью 14 метров в секунду. Через какое время он упадет на землю?
Можно найти время движения мяча как сумму времени равнозамедленного движения вверх и времени равноускоренного падения мяча от точки максимальной высоты до земли.
Вариант решения 1. Время t1 найдем, понимая, что в точке максимальной высоты (В) скорость мяча уменьшилась до нуля.
,
.
При движении вниз:
,
,
,
, тогда t = 1,4 + 2 = 3,4 (с).
Вариант решения 2. Решим эту же задачу координатным методом. Для этого на рисунке изобразим вектора физических величин.
Так как движение мяча происходит под действием силы тяжести (силой трения воздуха традиционно пренебрегаем), это движение является равноускоренным, с ускорением свободного падения g. Запишем закон равноускоренного движения в векторной форме:
.
Для работы с векторным уравнением создадим систему отсчета и спроецируем слагаемые на вертикальную ось. Начало отсчета выберем на земле, ось направим вверх. Из векторного уравнения получаем скалярное:
.
Это уравнение движения, т. е. выражение, позволяющее решать основную задачу механики – найти координату тела в любой момент времени.
Самое важное здесь понять, что этим единственным уравнением описаны оба участка движения – и равнозамедленное вверх, и равноускоренное вниз. Подставляя координату точки падения мяча (х=0), получим:
, где t – время движения мяча.
Используя численные значения известных величин, решаем задачу.
,
.
Поскольку отрицательный корень не будет иметь физического смысла, решением задачи является t = 3,4 c.
Преимущество предложенного метода выглядит более наглядным при решении более сложных задач.
Задача 2. Найти дальность и время полета тела, брошенного со скоростью , под углом α к горизонту.
Делаем рисунок. Тело движется по траектории.
Соответственно характеру движения записываем закон в векторной форме:
.
Далее не обойтись без системы отсчета (см. рисунок).
Проецируем уравнение на оси Х и У:
.
Эта система уравнений, выражая законы измерения горизонтальной и вертикальной координат, позволяет решать основную задачу механики для любого момента времени. Из полученной системы следует еще один важный вывод: мы можем рассматривать движение тела по криволинейной траектории, как одновременно совершающиеся два движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали.
Подставляя в систему координаты точки падения тела на землю (х = l; y = 0), получаем:
.
В данной системе t – время всего полета тела.
Отвечая на вопрос задачи, запишем:
,
.
Задача 3. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5м, имея после разбега горизонтально направленную скорость, равную по модулю 6 м/с. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им воды?
Уравнение движения в векторной форме:
.
Работая с ним в выбранной системе отсчета, получаем:
.
Отмечая равномерность горизонтального перемещения тела, заключаем, что горизонтальная составляющая скорости мальчика остается постоянной на протяжении всего полета. Восстановив перпендикуляр от вектора горизонтальной составляющей скорости в точке касания воды до пересечения с касательной к траектории, получим вектор искомой скорости .
.
Модуль скорости .
Значение вертикальной составляющей скорости вхождения в воду узнаем, взяв производную от уравнения изменения координаты y:
, где t – время полета, которое найдем, учтя равенство нулю (в нашей системе отсчета) вертикальной координаты точки вхождения в воду:
,
,
.
(Знак « – » связан с направлением вертикальной скорости в выбранной нами системе отсчета)
.
Для определения направления этой скорости найдем тангенс угла между вектором скорости и вертикалью: , .
Задача 4. Электрон влетел в электрическое поле, созданное двумя разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора, со скоростью (<<c) на равном расстоянии от них. Расстояние между пластинами d, длина пластин L (L>>d). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора электрон не вылетит из него?
Движение электрона в электрическом поле конденсатора является равноускоренным. Как и в предыдущих примерах используем уравнение движения:
.
Зависимость координат частицы от времени получим, проецируя векторное уравнение на оси координат:
,
где а – ускорение, сообщаемое электрону электрическим полем.
При минимальной разности потенциалов между пластинами, которые не позволят частице вылететь из конденсатора, электрон попадает на самый край положительной пластины с координатами х= L, .
,
где t – время движения электрона до этой точки.
По второму закону Ньютона:
,
,
.
Отсюда
.
Из системы уравнений находим ускорение:
; ,
.
Получаем ответ задачи:
.
Рассмотренные примеры позволяют сделать заключение, что во многих случаях, когда в условии задачи говорится о равноускоренном движении тела, можно организовать решение и вывести различные расчетные формулы на единой основе, используя векторную запись уравнения движения и осмысленную работу с ним в конкретной системе отсчета.
1. Продвижение ракеты в пылевидном облаке будет сопровождаться её торможением, потому что ракета часть своего импульса будет отдавать при неупругом взаимодействии пылинкам. Чтобы определить количественно импульс надо найти массу взаимодействующих с корпусом ракеты пылинок.
2. Путь, проделанный ракетой в облаке за данный промежуток времени:
L = uΔt.
3. Объём, образованный следом ракеты при перемещении в пылевом облаке:
V = suΔt.
4. Масса пылинок заключённых в объёме V может быть определена через плотность пылевого облака
m = ρV = ρsuΔt .
5. Изменение импульса ракеты при неупругом взаимодействии с пылинками запишется так
Δp = ρsuΔt ⋅ u .
6. Для компенсации суммарного импульса пылинок необходимо обеспечить изменение импульса силы тяги на величину ΔFΔt
Задача 1. Мяч брошен с высоты 10 метров вертикально вверх со скоростью 14 метров в секунду. Через какое время он упадет на землю?
Можно найти время движения мяча как сумму времени равнозамедленного движения вверх и времени равноускоренного падения мяча от точки максимальной высоты до земли.
Вариант решения 1. Время t1 найдем, понимая, что в точке максимальной высоты (В) скорость мяча уменьшилась до нуля.
,
.
При движении вниз:
,
,
,
, тогда t = 1,4 + 2 = 3,4 (с).
Вариант решения 2. Решим эту же задачу координатным методом. Для этого на рисунке изобразим вектора физических величин.
Так как движение мяча происходит под действием силы тяжести (силой трения воздуха традиционно пренебрегаем), это движение является равноускоренным, с ускорением свободного падения g. Запишем закон равноускоренного движения в векторной форме:
.
Для работы с векторным уравнением создадим систему отсчета и спроецируем слагаемые на вертикальную ось. Начало отсчета выберем на земле, ось направим вверх. Из векторного уравнения получаем скалярное:
.
Это уравнение движения, т. е. выражение, позволяющее решать основную задачу механики – найти координату тела в любой момент времени.
Самое важное здесь понять, что этим единственным уравнением описаны оба участка движения – и равнозамедленное вверх, и равноускоренное вниз. Подставляя координату точки падения мяча (х=0), получим:
, где t – время движения мяча.
Используя численные значения известных величин, решаем задачу.
,
.
Поскольку отрицательный корень не будет иметь физического смысла, решением задачи является t = 3,4 c.
Преимущество предложенного метода выглядит более наглядным при решении более сложных задач.
Задача 2. Найти дальность и время полета тела, брошенного со скоростью , под углом α к горизонту.
Делаем рисунок. Тело движется по траектории.
Соответственно характеру движения записываем закон в векторной форме:
.
Далее не обойтись без системы отсчета (см. рисунок).
Проецируем уравнение на оси Х и У:
.
Эта система уравнений, выражая законы измерения горизонтальной и вертикальной координат, позволяет решать основную задачу механики для любого момента времени. Из полученной системы следует еще один важный вывод: мы можем рассматривать движение тела по криволинейной траектории, как одновременно совершающиеся два движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали.
Подставляя в систему координаты точки падения тела на землю (х = l; y = 0), получаем:
.
В данной системе t – время всего полета тела.
Отвечая на вопрос задачи, запишем:
,
.
Задача 3. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5м, имея после разбега горизонтально направленную скорость, равную по модулю 6 м/с. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им воды?
Уравнение движения в векторной форме:
.
Работая с ним в выбранной системе отсчета, получаем:
.
Отмечая равномерность горизонтального перемещения тела, заключаем, что горизонтальная составляющая скорости мальчика остается постоянной на протяжении всего полета. Восстановив перпендикуляр от вектора горизонтальной составляющей скорости в точке касания воды до пересечения с касательной к траектории, получим вектор искомой скорости .
.
Модуль скорости .
Значение вертикальной составляющей скорости вхождения в воду узнаем, взяв производную от уравнения изменения координаты y:
, где t – время полета, которое найдем, учтя равенство нулю (в нашей системе отсчета) вертикальной координаты точки вхождения в воду:
,
,
.
(Знак « – » связан с направлением вертикальной скорости в выбранной нами системе отсчета)
.
Для определения направления этой скорости найдем тангенс угла между вектором скорости и вертикалью: , .
Задача 4. Электрон влетел в электрическое поле, созданное двумя разноименно заряженными пластинами плоского конденсатора, со скоростью (<<c) на равном расстоянии от них. Расстояние между пластинами d, длина пластин L (L>>d). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора электрон не вылетит из него?
Движение электрона в электрическом поле конденсатора является равноускоренным. Как и в предыдущих примерах используем уравнение движения:
.
Зависимость координат частицы от времени получим, проецируя векторное уравнение на оси координат:
,
где а – ускорение, сообщаемое электрону электрическим полем.
При минимальной разности потенциалов между пластинами, которые не позволят частице вылететь из конденсатора, электрон попадает на самый край положительной пластины с координатами х= L, .
,
где t – время движения электрона до этой точки.
По второму закону Ньютона:
,
,
.
Отсюда
.
Из системы уравнений находим ускорение:
; ,
.
Получаем ответ задачи:
.
Рассмотренные примеры позволяют сделать заключение, что во многих случаях, когда в условии задачи говорится о равноускоренном движении тела, можно организовать решение и вывести различные расчетные формулы на единой основе, используя векторную запись уравнения движения и осмысленную работу с ним в конкретной системе отсчета.
1. Продвижение ракеты в пылевидном облаке будет сопровождаться её торможением, потому что ракета часть своего импульса будет отдавать при неупругом взаимодействии пылинкам. Чтобы определить количественно импульс надо найти массу взаимодействующих с корпусом ракеты пылинок.
2. Путь, проделанный ракетой в облаке за данный промежуток времени:
L = uΔt.
3. Объём, образованный следом ракеты при перемещении в пылевом облаке:
V = suΔt.
4. Масса пылинок заключённых в объёме V может быть определена через плотность пылевого облака
m = ρV = ρsuΔt .
5. Изменение импульса ракеты при неупругом взаимодействии с пылинками запишется так
Δp = ρsuΔt ⋅ u .
6. Для компенсации суммарного импульса пылинок необходимо обеспечить изменение импульса силы тяги на величину ΔFΔt
FΔt = ρsu2Δt, ⇒ F = ρsu2