Дубовый кусок с основанием 250 см квадратных и высотой 20 см опускают вниз на верёвке. РС при этом равно 20 Н. Определите силу тяжести верёвки.

Запишем уравнение в виде:
r(t) = x(t)·i + y(t)·j+z(t)·k

Имеем:
x(t) = sin (0,16·t)                   x(6) = 0,82
y(t) = cos²(0,16·t)                  y(6) = 0,33 
z(t) = 0
Делаем вывод, что точка движется в плоскости ХОY

Скорость - первая производная от координаты.
Имеем:
Vx(t) = 0,16·cos (0,16·t)
Vx(6) = 0,16·cos (0,16·6) ≈ 0,09 м/с

Vy(t) = -2·0,16·cos(0,16·t)·sin (0,16·t) = -0,16·sin(0,32·t)    - двойной угол.
Vy(6) = -0,16·sin (0,32·6) ≈ - 0,15 м/с
V=√(0,09²+(-0,15)² )= 0,17 м/с

Ускорение - производная от скорости;
ax(t) = -0,16²·sin (0,16·t)
ax(6) = -0,16²·sin (0,16·6) ≈ 0,002 м/с2

ay(t) = -0,16·0,32·sin (0,32·t) 
ay(6) = -0,16·0,32·cos (0,32·6) ≈ - 0,018 м/с²
a=√(0,002²+(-0,018)² )= 0,018 м/с²

Находим траекторию:
sin²(0,16)=x²
cos²(0,16)=y
Сложим:
1=x²+y

y=1-x²   - уравнение ПАРАБОЛЫ.

График смотри в скрине

Cколько воды, взятой при 50 градусах необходимо, чтобы превратить в воду 10 кг льда, взятого при -10 градусов в алюминиевой емкости массой 5 кг.
Напишем уравнение теплового баланса:

Qв = Qл + Qп + Qа ;

Qв – теплота, отданная горячей водой,
Qл – теплота, получаемая нагреваемым льдом,
Qп – теплота, получаемая плавящимся льдом,
Qё – теплота, получаемая алюминиевой ёмкостью.

to – конечная температура,
tв = 50°С – температура горячей воды,
tл = –10°С – начальная температура льда и ёмкости,

mв – масса воды,
mл = 10 кг – масса льда,
mё = 5 кг – масса алюминиевой ёмкости,

с = 4190 Дж/кг°С – теплоёмкость воды,
с/2 = 2095 Дж/кг°С – теплоёмкость льда,
сё = 920 Дж/кг°С– теплоёмкость алюминия,

Л = 340 000 Дж/кг – теплота плавления льда,

Qв = c mв ( tв - to ) ;
Qл = (c/2) mл ( to – tл ) ;
Qп = Л mл ;
Qё = сё mё ( to – tл ) ;

Тогда получается, что:

Qв = Qл + Qп + Qа ;
c mв ( tв - to ) = (c/2) mл ( to – tл ) + Л mл + сё mё ( to – tл ) ;
c mв tв - c mв to = (c/2) mл to – (c/2) mл tл + Л mл + сё mё to – сё mё tл ;
c mв to + (c/2) mл to + сё mё to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
( c mв + (c/2) mл + сё mё ) to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
to = ( c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ) / ( c mв + (c/2) mл + сё mё ) > 0 ;
Знаменатель – положителен, значит должен быть положителен и числитель:
c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл > 0 ;
mв tв > (Л/с) mл – (1/2) mл tл – (сё/с) mё tл ;
mв > ( Л / (с tв) ) mл + (1/2) mл |tл|/tв + (сё/с) mё |tл|/tв ;
[1]    mв > mл ( Л / (с tв) + |tл|/(2tв) ) + (сё/с) mё |tл|/tв ;
либо:
[2]    mв > mл ( Л / (с tв) ) + ( mл/2 + (сё/с) mё ) |tл|/tв ;

Посчитаем по [1]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) + 10/100 ) + (920/4190)*5*10/50 = 17.5 кг ;
Посчитаем по [2]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) ) + ( 10/2 + (920/4190)*5 ) 10/50 = 17.5 кг ;

Всё сходится. Нужно взять больше, чем 17.5 кг (17.5 литров) воды, тогда весь лёд, взятый в алюминиевой ёмкости при –10°С удастся растопить.