Два круговых витка радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,1 м расположены в параллельных плоскостях на расстоянии l = 0,05 м друг от друга. По виткам в противоположных направлениях проходят токи I1 = 2 А и I2 = 2 А. Найти индук-цию
магнитного поля в точках на оси, проходящей через центры витков, от-стоящих
на расстоянии r = 0,02 м от первого витка.
Интегральная формула закона Био-Савара-Лапласа позволяет найти магнитное поле на оси, для этого применяется следующая формула:
B = (μ₀/4π) * ∫(dl × R)/R³
где B - индукция магнитного поля,
μ₀ - магнитная постоянная (μ₀ = 4π * 10^(-7) T*m/A),
dl - элемент пути по току,
R - радиус-вектор от элемента пути до точки, в которой мы хотим найти индукцию магнитного поля,
∫ - интеграл по всем элементам пути.
Для начала, найдем магнитное поле от первого витка, которое создается в точке на оси, отстоящей на расстоянии r = 0,02 м от него.
Так как виток - круговой, можно представить его как элементарный проводник, по которому проходит ток I1 = 2 А. Радиус-вектор от элемента пути до точки, в которой мы ищем индукцию поля, будет равен R = r.
Теперь необходимо найти элемент пути dl и выразить его через угол, который элемент пути занимает на окружности витка. Элемент пути dl определяется как dl = R1 * dφ, где dφ - малый элемент угла.
Чтобы найти dφ, воспользуемся геометрическим соотношением между длиной дуги окружности и радиусом углом:
dφ = dl/R1 = R1*dφ/R1 = dφ
Теперь мы можем записать элемент пути dl как dl = R1 * dφ.
Подставим эти значения в формулу для магнитного поля:
B1 = (μ₀/4π) * ∫(dl × R)/R³ = (μ₀/4π) * ∫(R1 * dφ × r)/(r³) = (μ₀/4π) * R1/r³ * ∫(dφ × r)
Замечаем, что последнее выражение ∫(dφ × r) есть сумма всех значений r * dφ. Однако интеграл ∫(dφ × r) от 0 до 2π равен длине окружности витка, то есть 2πR1.
B1 = (μ₀/4π) * (2πR1/r³) * 2πR1 = (μ₀*(2π)²*R1²)/(2r³) = (μ₀π²R1²)/r³
Теперь найдем магнитное поле от второго витка, которое создается в точке на оси, отстоящей на расстоянии r = 0,02 м от него.
Аналогично, магнитное поле от второго витка можно выразить по формуле:
B2 = (μ₀π²R2²)/r³
Так как витки расположены в противоположных направлениях, магнитное поле от первого витка будет направлено в одну сторону, а от второго - в другую. Итоговая индукция магнитного поля в точке на оси будет разностью между магнитными полями:
B = B1 - B2 = (μ₀π²R1²)/r³ - (μ₀π²R2²)/r³ = (μ₀π²(R1² - R2²))/r³
Подставляя значения радиусов R1 = 0,2 м, R2 = 0,1 м, расстояния до витка r = 0,02 м и магнитной постоянной μ₀ = 4π * 10^(-7) T*m/A в эту формулу, получаем искомое значение индукции магнитного поля в заданной точке на оси.