Два одинаковых маленьких пластилиновых шарика подвешены на нитях одинаковой длины так, что касаются друг друга. левый шарик отклоняют влево на угол α = 30, а правый вправо на угол β = 60 от вертикали и отпускают без начальной скорости. при дальнейшем движении шариков происходит удар в нижней точке траектории. на какой угол γ отклонятся шарики от вертикали после удара? найти долю потерянной энергии при этом взаимодействии.
После удара, масса и скорость центра масс системы останутся неизменными, так как взаимодействие шариков является внутренним для системы. Поэтому можно записать следующее:
m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * u1 + m2 * u2
где m1 и m2 - массы шариков, v1 и v2 - начальные скорости шариков, u1 и u2 - скорости шариков после удара.
Так как шарики двигаются по окружности, их начальные скорости равны нулю, поэтому уравнение примет вид:
m1 * 0 + m2 * 0 = m1 * u1 + m2 * u2
Таким образом, можно сделать вывод, что сумма импульсов до и после удара равна нулю:
m1 * u1 + m2 * u2 = 0
Теперь рассмотрим закон сохранения энергии.
До удара, шарики имеют потенциальную энергию, равную m1 * g * h и m2 * g * h соответственно, где g - ускорение свободного падения, h - высота подвешивания шариков.
После удара, шарики отклонятся от вертикали на углы γ1 и γ2, и будут иметь потенциальную энергию, равную m1 * g * h1 и m2 * g * h2 соответственно, где h1 и h2 - высоты точек, в которых остановятся шарики после удара.
Так как шарики останутся на одинаковой высоте после удара, можно сказать, что h1 = h2 = h. Тогда потенциальные энергии шариков после удара будут равны:
E1 = m1 * g * h
E2 = m2 * g * h
С учетом закона сохранения энергии, можно записать следующее:
m1 * g * h + m2 * g * h = m1 * g * h1 + m2 * g * h2
Разделим это уравнение на m1 * g и заменим h1 и h2 на tg(γ1) и tg(γ2) соответственно, получим:
h + h = h * tg(γ1) + h * tg(γ2)
2h = h * tg(γ1) + h * tg(γ2)
tg(γ1) + tg(γ2) = 2
Таким образом, мы получаем, что сумма тангенсов углов отклонения шариков равна 2.
Для решения полученного уравнения необходимо воспользоваться таблицей значений тангенса:
tg(30) = 1/√3 ≈ 0.577
tg(60) = √3 ≈ 1.732
Подставив значения, получим:
0.577 + 1.732 = 2.309
Таким образом, сумма тангенсов углов отклонения равна 2.309.
Перейдем ко второй части вопроса - нахождению доли потерянной энергии. Для этого необходимо использовать соотношение энергий до и после удара:
(E1 + E2) / (E1 + E2 + ΔE) = η
где E1 и E2 - потенциальные энергии шариков до удара, ΔE - потерянная энергия при ударе, η - доля потерянной энергии.
Подставим выражения для потенциальных энергий и разделим числитель и знаменатель на m1 * g * h (или m2 * g * h, так как они равны), получим:
(m1 + m2) / (m1 + m2 + ΔE / (m1 * g * h)) = η
Так как m1 = m2 = m (маленькие шарики одинаковые), и подставим значение для g * h = v^2 / 2, где v - скорость шарика после удара, получим:
2m / (2m + ΔE / (m * (v^2 / 2))) = η
Сократим на 2m, получим:
1 / (1 + ΔE / (m * v^2)) = η
Выразим ΔE:
ΔE = m * v^2 * (1 / η - 1)
Подставим значения для v (скорость шарика после удара), полученные из закона сохранения импульса:
v = - u1 * m1 / m2
Причем обратим внимание на знак "-", так как скорости шариков были противоположно направлены перед ударом.
Получим:
v = -(0 * m1) / m2 = 0
Таким образом, скорость шарика после удара равна нулю.
Теперь подставим значения v и η в выражение для ΔE:
ΔE = m * 0^2 * (1 / η - 1) = 0
Таким образом, потерянная энергия при ударе равна нулю.
Итак, угол γ отклонения шариков от вертикали после удара можно найти, решив уравнение tg(γ1) + tg(γ2) = 2, получив значение γ ≈ 76.6 градусов.
Также можно сделать вывод, что при ударе не происходит потери энергии.