Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью v=2 мм/с на расстоянии а=20 см друг от друга. определить максимальную индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через середи¬ну отрезка, соединяющего протоны, перпендикулярно к плоскости, в которой находятся траектории движения протонов
Сила взаимодействия двух зарядов kQq/R², перпендикулярно соединяющей их линии останется точно такой же и в случае их движения, или движения одного из них поперёк соединяющей их линии. Тем не менее, в случае взаимодействия не просто одиночных зарядов, а потоков подвижных зарядов (электротоков), когда сила воздействия одного потока заряженных частиц на элементы параллельного – складывается, как суперпозиция отдельных сил Кулона – всё усложняется тем, что продольные расстояния при относительном движении сжимаются, и силы относительно-подвижных взаимодействий становятся больше сил относительно-неподвижных взаимодействий. Причём, оказывается, что силы Кулона зависят от относительной скорости движения квадратично.
Если, скажем, токи одной природы (например, электронные) однонаправленные, то силы Кулона относительно подвижных элементов [ep] – это силы притяжения, и они сильнее, а силы Кулона относительно неподвижных элементов [ee]/[pp] – это силы отталкивания, и они слабее. Возникает притяжение.
Если, скажем, токи разной природы (электронный и положительно-ионный) однонаправленные (т.е. математически разнонаправленные токи), то силы Кулона относительно подвижных элементов [ee]/[pp] – это силы отталкивания, и они сильнее, а силы Кулона относительно неподвижных элементов [ep] – это силы притяжения, и они слабее. Возникает отталкивание.
Если, токи одной природы разнонаправленные, то силы Кулона относительно подвижных элементов [ep] – это силы притяжения, и они умеренные, а силы Кулона относительно сильно-подвижных элементов [ee]/[pp] – это силы отталкивания, и они квадратично большие. Возникает отталкивание. Четвёртый вариант нетрудно разобрать самостоятельно.
В итоге, получается, что два однонаправленных тока (уже с учётом и природы и направления потоков) начинают притягиваться, а два разнонаправленных тока – отталкиваться. При математическом обобщении (интегрировании) всех отличий относительно-подвижных сил Кулона от относительно-неподвижных сил Кулона – выясняется, что общая сила притяжения однонаправленных токов выражается так, как будто между каждыми двумя отдельными зарядами возникает взаимодействие, описываемое той же формулой, как и сила Кулона, но с добавочным коэффициентом пропорциональности:
F = k(QV/c)(qv/c)/R² ,
где V/c – приведённая скорость первого тока,
а v/c – приведённая скорость второго тока.
Таким образом, оказывается удобным ввести отдельный термин и отдельно учитывать часть поля подвижных заряженных частиц. Этот кусочек (слагаемое) взаимодействия называют магнетизмом и магнитным слагаемым в законе взаимодействия. И этот факт – превосходное доказательство теории относительности Эйнштейна.
Между двумя зарядами, расположенными на линии перпендикулярной их движению возникает сила, которую можно записать так:
F = kQq/R² = [1+Vv/c²]kQq/R² – [Vv/c²]kQq/R² ;
где договорились называть:
F = [1+Vv/c²] kQq/R² – силой Кулона (положительное направление – отталкивание), а
F = –k/c² [VQ][vq]/R² – силой Магнитного взаимодействия Био-Савара-Лапласа (знак минус – притяжение).
Выражение закона Био-Савара-Лапласа здесь показано в элементарной форме, когда линия взаимодействия зарядов перпендикулярна скоростям движения зарядов.
Важно понимать, что магнитная составляющая взаимодействия в данном случае – величина относительная. Если мы начнём двигаться со скоростью этих протонов – то слагаемое Био-Савара-Лапласа вообще полностью обнулится, и, стало быть – в их системе отсчёта магнитная стрелка перестанет ориентироваться, указывая на отсутствие магнитного поля. В то же время в нашей системе отсчёта – магнитная стрелка будет отклоняться. Поскольку само магнитное поле – это псевдо-поле, зависящее от системы отсчёта. Электро-поле никогда не исчезает, но нужно понимать, что и оно меняется. Неизменным останется лишь суммарное электромагнитное воздействие, даваемое в общем законом Кулона и законом Био-Савара-Лапласа в суперпозиции.
*** [ограничивают зачем-то 5000 символов, поэтому – читаем слудующее решение]
Аналогично напряжённости электрического поля – разумно ввести и понятие напряжённости магнитного воздействия, создаваемого одним зарядом. В случае электрического взаимодействия мы вводим понятие, которое оказывается независимым от пробного заряда, а именно – удельную силу, действующую на заряд, поскольку сама сила воздействия пропорциональная пробному заряду. Точно так же, нужно просто ввести характеристику, которая не будет включать в себя параметры пробного движущегося заряда, а именно силу, удельную к элементу тока. Элементом тока называют величину [vq]. Нечто аналогичное импульсу, но связанное с электричеством.
В этом случае окажется, что, напряжённость магнитного поля:
Ho = |F/[vq]| = k/c² [VQ]/R² .
В определениях индукции магнитного поля в среде и напряжённости магнитного поля в вакууме имеются известные неудобства, вдаваться в которые здесь неуместно, но, которые, по сути, не меняют природы указанных понятий.
В вакууме индукция B магнитного поля по определению равна напряжённости Ho магнитного поля:
B = Ho = k/c² [VQ]/R² = μo/ [VQ]/R² , (положить k/c² = μo/[4π] – оказывается удобным в большом классе задач)
где: k/c² = μo/[4π] = 9 000 000 000 / 300 000 000 ² = 1/10 000 000 [Н/А²]
Кроме прочего, в силу обстоятельств, при которых появляется необходимость введения магнитного поля, довольно замысловатым оказывается и геометрическая интерпретация напряжённости магнитного поля, вводимого, как псевдовектор c непараллельным силам магнитного взаимодействия направлением.
Но, как бы то ни было, поскольку мы понимаем, что подвижный заряд, оказавшийся на указанной в условии прямой будет либо притягиваться к каждому из протонов, либо отталкиваться от них, то поэтому для нахождения модуля суперпозиции магнитных полей – достаточно найти модуль суперпозиции магнитных сил, которые направлены просто к протонам или от них.
Итак:
Модули индукции магнитных полей каждого протона в точках на указанной прямой – будут выражаться, как:
Bp = k/c² [Ve] / [ (a/2)² + y² ] , где y – высота подъёма над плоскостью траекторий протонов.
Результирующая сила, действующая на пробный подвижный заряд, оказывающийся на заданной прямой – будет направлена перпендикулярно плоскости траекторий протонов, а значит, сила чисто магнитного взаимодействия будет складываться из двух вертикальных составляющих. В таком случае, магнитное поле системы протонов, окажется равно:
B = 2 Bp y / √[ (a/2)² + y² ] ;
B = 2k/c² [Ve] y / √( (a/2)² + y² )³ ;
Ясно, что посередине прямой, соединяющей протоны – магнитная индукция равна нулю. Так же, ясно, что и на бесконечности – она равна нулю. А где-то между нолём по высоте и бесконечностью – магнитная индукция принимает один максимум, что можно показать, просто взяв производную dB/dy и приравняв её к нулю:
dB/dy = 2k/c² [Ve] [ (a/2)² – 2y² ] / √( (a/2)² + y² )^5 = 0 ;
y(max) = a/[2√2] – это и есть высота максимума магнитной индукции, найдём её.
Bmax = 2k/c² [Ve] a/[2√2] / √( (a/2)² + a²/8 )³ = 16/[3√3] k/c² [Ve]/a² ;
Bmax = 16/[3√3] k/c² [Ve]/a² ≈
≈ 16 / [ 30 000 000 √3 ] [ 2 000 000 * 1.6022 * 10^(–19) ] / 0.2² ≈
≈ 128.176/[3√3] [ 10^(–19) ] ≈ 2.467*10^(–18) Тл ≈ 0.000 002 467 пТл ;
ответ: Bmax ≈ 0.002 467 фТл ≈ 2.467 аТл ; ( фемтотеслы / аттотеслы ) ;
Или иначе: Bmax ≈ 2.467 мкН/[ГКл*км/с] ;
При этом, магнитная индукция будет направлена перпендикулярно вертикальной оси и одновременно перпендикулярно направлению движения протонов. Т.е., короче говоря, магнитная индукция в искомой точке будет сориентирована вдоль прямой, соединяющей протоны. А направлена она будет, если смотреть в сторону улетающих от нас протонов – вправо в верхней над протонами точке и влево в нижней под протонами точке, т.е., короче говоря, магнитная индукция при таком взгляде будет находиться на контуре силовых линий магнитной индукции, с направлением обхода – по часовой стрелке.