Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: х1 = а1 + в1t + c1t2, x2 = a2 + b2 t+ c2t2, где а1 = 20 м; а2 = 2 м; в2 = в1 =2 м/с; с1 = -4м/с2; с2 = 0,5 м/с2. в какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? определить скорости v1 и v2 и ускорения a1 и a2 точек в этот момент.
х1 = А1 + В1t + C1t2,где А1 = 20 м; В1 =2 м/с;С1 = -4м/с2;
x1 = 20 +2*t-4*t^2
скорость v1 =(x1)' =2-8t ; ускорение a1=-8
x2 = A2 + B2 t+ C2t2 где А2 = 2 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,5 м/с2.
x2 = 2 +2*t+0,5t^2
скорость v2 =(x2)' =2+t ; ускорение a2=1
В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми ?
v1 =v2
2-8t =2+t
9t=0
t=0 в начальный момент скорости одинаковые v=v1=v2= 2м/с
ускорения a1 и a2 точек имеют постоянное значение, от времени не зависят
Для первой точки:
x1 = а1 + в1t + c1t^2
= 20 + v1t + (-4)t^2
Берем первую производную этого уравнения по времени (t), чтобы найти скорость:
v1 = dx1/dt = 0 + v1 + (-8)t
Так как скорость для первой точки выражается через v1, то мы можем сказать, что v1 = v1 - 8t.
Берем вторую производную x1 по времени (t), чтобы найти ускорение:
a1 = d^2x1/dt^2 = 0 + 0 + (-8)
a1 = -8
Аналогично для второй точки:
x2 = а2 + б2t + c2t^2
= 2 + 2t + 0.5t^2
Берем первую производную этого уравнения по времени (t), чтобы найти скорость:
v2 = dx2/dt = 0 + 2 + 1t
v2 = 2 + t
Берем вторую производную x2 по времени (t), чтобы найти ускорение:
a2 = d^2x2/dt^2 = 0 + 1
a2 = 1
Теперь, чтобы найти момент времени, когда скорости этих точек равны, мы можем приравнять выражения для v1 и v2:
v1 = v2 - 8t
v1 = 2 + t - 8t
Теперь решим это уравнение:
2 + t - 8t = v1
2 - 7t = v1
Теперь мы можем найти значение t, когда скорости этих точек будут одинаковыми, подставив значение скорости (v1) из уравнения движения первой точки.
2 - 7t = v1
2 - 7t = v1 - 8t
8t - 7t = v1 - 2
t = (v1 - 2)/t
Таким образом, мы нашли значение времени (t), когда скорости этих точек будут одинаковыми. Теперь, подставим это значение в уравнения для скоростей и ускорений для каждой точки, чтобы найти финальные значения.
Для первой точки:
v1 = v1 - 8t
v1 = v1 - 8((v1 - 2)/t)
Для второй точки:
v2 = 2 + t
v2 = 2 + ((v1 - 2)/t)
Для ускорений:
a1 = -8
a2 = 1
Теперь у нас есть полный набор информации о скоростях и ускорениях для каждой точки в момент времени, когда их скорости равны.