Если при изменении температуры абсолютно черного тела площадь под кривой r λ,T = f () увеличилась в 4 раза, то, как при этом изменилась длина волны, на которую приходится максимум испускательной тела?
Для решения данной задачи, нам необходимо знать, что абсолютно черное тело испускает электромагнитное излучение, которое зависит от его температуры и длины волны. По закону Вина, максимальная интенсивность излучения приходится на волну, для которой производная от плотности энергии по длине волны равна нулю.
Поскольку площадь под кривой зависит от температуры и длины волны, то если она увеличилась в 4 раза, мы можем записать следующее соотношение:
S_1 = 4 * S_0,
где S_1 - новая площадь, S_0 - исходная площадь.
Для решения данной задачи также определяем, что максимальная интенсивность излучения попадает на волну длиной λ_max. Используем закон Вина:
d/dλ (B_λ(T)) | λ_max = 0
d/dλ (B_λ(T)) - производная от плотности энергии по длине волны.
Теперь, если мы выразим площадь под кривой (S) через плотность энергии (B_λ) из выражения планка:
где h - постоянная Планка, c - скорость света, k - постоянная Больцмана и T - температура абсолютно черного тела,
то мы можем переписать уравнение площади под кривой:
S = ∫(B_λ * dλ)
Итак, мы можем записать уравнение для первоначальной площади под кривой:
S_0 = ∫(B_λ(T_0) * dλ).
А теперь, используя новую площадь под кривой S_1 = 4 * S_0 и меняя пределы интегрирования в соответствии с изменением длины волны, мы можем записать новое уравнение для площади под кривой:
S_1 = ∫(B_λ(T_1) * dλ),
где T_1 - новая температура абсолютно черного тела. Поскольку мы хотим узнать, как изменится максимум плотности энергии, мы можем сравнить два уравнения:
S_1 = 4 * S_0 = 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ)
Теперь мы можем выразить новую температуру T_1 через начальную температуру T_0:
∫(B_λ(T_1) * dλ) = 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ)
Теперь мы должны найти длину волны и максимум интенсивности B_λ(T_1), которые соответствуют новой температуре T_1. Для этого выполняем следующий шаг:
1. Используя закон Вина, находим λ_max для исходной температуры T_0:
d/dλ (B_λ(T_0)) | λ_max = 0.
2. Дифференцируем оба уравнения ∫(B_λ(T_1) * dλ) и 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ) по λ и приравниваем результаты к нулю:
3. Используя выражение для B_λ(T), решаем получившееся дифференциальное уравнение для λ и находим новую длину волны λ_max(T_1).
Итак, чтобы решить данную задачу, мы должны выполнить следующие шаги:
1. Выразить площадь под кривой через плотность энергии;
2. Сравнить две площади под кривой, учитывая изменение длины волны;
3. Выразить новую длину волны и максимум интенсивности, используя полученное дифференциальное уравнение.
Метод решения будет отличаться в зависимости от выражений, используемых для площади под кривой и плотности энергии, поэтому вычисления могут быть сложными и займут много времени. Я рекомендую обратиться к учебнику или к учителю, чтобы более подробно разобраться в данной теме и получить конкретные значения для решения этой задачи.
Поскольку площадь под кривой зависит от температуры и длины волны, то если она увеличилась в 4 раза, мы можем записать следующее соотношение:
S_1 = 4 * S_0,
где S_1 - новая площадь, S_0 - исходная площадь.
Для решения данной задачи также определяем, что максимальная интенсивность излучения попадает на волну длиной λ_max. Используем закон Вина:
d/dλ (B_λ(T)) | λ_max = 0
d/dλ (B_λ(T)) - производная от плотности энергии по длине волны.
Теперь, если мы выразим площадь под кривой (S) через плотность энергии (B_λ) из выражения планка:
B_λ(T) = (2 * h * c^2) / (λ^5 * (exp((h * c) / (k * λ * T)) - 1)),
где h - постоянная Планка, c - скорость света, k - постоянная Больцмана и T - температура абсолютно черного тела,
то мы можем переписать уравнение площади под кривой:
S = ∫(B_λ * dλ)
Итак, мы можем записать уравнение для первоначальной площади под кривой:
S_0 = ∫(B_λ(T_0) * dλ).
А теперь, используя новую площадь под кривой S_1 = 4 * S_0 и меняя пределы интегрирования в соответствии с изменением длины волны, мы можем записать новое уравнение для площади под кривой:
S_1 = ∫(B_λ(T_1) * dλ),
где T_1 - новая температура абсолютно черного тела. Поскольку мы хотим узнать, как изменится максимум плотности энергии, мы можем сравнить два уравнения:
S_1 = 4 * S_0 = 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ)
Теперь мы можем выразить новую температуру T_1 через начальную температуру T_0:
∫(B_λ(T_1) * dλ) = 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ)
Теперь мы должны найти длину волны и максимум интенсивности B_λ(T_1), которые соответствуют новой температуре T_1. Для этого выполняем следующий шаг:
1. Используя закон Вина, находим λ_max для исходной температуры T_0:
d/dλ (B_λ(T_0)) | λ_max = 0.
2. Дифференцируем оба уравнения ∫(B_λ(T_1) * dλ) и 4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ) по λ и приравниваем результаты к нулю:
d/dλ (∫(B_λ(T_1) * dλ)) = d/dλ (4 * ∫(B_λ(T_0) * dλ)).
3. Используя выражение для B_λ(T), решаем получившееся дифференциальное уравнение для λ и находим новую длину волны λ_max(T_1).
Итак, чтобы решить данную задачу, мы должны выполнить следующие шаги:
1. Выразить площадь под кривой через плотность энергии;
2. Сравнить две площади под кривой, учитывая изменение длины волны;
3. Выразить новую длину волны и максимум интенсивности, используя полученное дифференциальное уравнение.
Метод решения будет отличаться в зависимости от выражений, используемых для площади под кривой и плотности энергии, поэтому вычисления могут быть сложными и займут много времени. Я рекомендую обратиться к учебнику или к учителю, чтобы более подробно разобраться в данной теме и получить конкретные значения для решения этой задачи.