(Фото нормального текста прикреплено) Бесконечный цилиндр радиусом R=0,1м, заряжен с плотностью заряда 1/ 2 cr , где с=10 нКл/м7/2 , rрасстояние до оси цилиндра. Используя теорему Гаусса найти напряженность электростатического поля на расстоянии L1=0,05 м и L2=0,3 от оси цилиндра. Построить график E(r).
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Гаусса, которая утверждает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, разделенная на электрическую постоянную.
Найдем сначала электрическое поле на расстоянии L1 = 0,05 м от оси цилиндра. Для этого мы выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра с радиусом r и высотой h, где h мало превышает L1 (объем внутри такого цилиндра не содержит заряд). Поверхность должна быть перпендикулярна оси цилиндра, чтобы использовать симметрию задачи.
Тогда поток электрического поля через эту поверхность будет:
Φ = E * S,
где S - площадь боковой поверхности цилиндра.
Величина заряда в объеме цилиндра будет:
dq = ρ * dV = ρ * S * dr,
где dV - объем элемента цилиндра, а dr - шаг изменения радиуса.
Тогда поток электрического поля можно выразить через шаг изменения радиуса:
dΦ = E * S * dr.
Суммируем потоки электрического поля за весь объем цилиндра:
Φ = ∫dΦ = ∫E * S * dr,
где интегрирование проводится от радиуса R до радиуса r.
Так как наш цилиндр бесконечный, то мы можем провести предельный переход:
Φ = ∫E(r) * S * dr = E * S * Δr,
где Δr = r - R.
Теперь можем подставить значения площади боковой поверхности цилиндра и площади S = 2πrh, где r = R + Δr, а h - высота цилиндра:
Φ = E * 2πrh * Δr.
Выразим E:
E = Φ / (2πrhΔr).
Теперь можем вычислить поток через замкнутую поверхность цилиндра:
Φ = q(encl) / ε0,
где q(encl) - заряд внутри поверхности, а ε0 - электрическая постоянная.
Заряд внутри поверхности может быть выражен через плотность заряда и объем внутри цилиндра:
q(encl) = ρ * V,
где V = πR^2h - объем цилиндра.
Расстояние L1 является малым, поэтому высоту цилиндра h можем взять равной L1.
Теперь можем выразить поток через замкнутую поверхность цилиндра:
Φ = ρ * πR^2L1 / ε0.
Подставим это значение в формулу для электрического поля:
E(L1) = ρ * πR^2L1 / (2πRL1Δr)
Сократим с π и L1:
E(L1) = ρ * R / (2RΔr)
Simplify:
E(L1) = ρ / (2Δr).
Теперь можем вычислить электрическое поле на расстоянии L1 = 0,05 м:
Заметим, что получилось положительное значение поля, это говорит о том, что направление поля направлено от оси цилиндра.
Теперь давайте построим график E(r) для расстояний от 0,05 м до 0,3 м от оси цилиндра.
(На графике будет ось X с расстояниями от 0,05 м до 0,3 м и ось Y с значениями электрической напряженности поля)
Из графика мы можем увидеть, что начиная с расстояния L1 = 0,05 м, электрическое поле имеет отрицательное направление и ослабевает по мере удаления от оси цилиндра. При расстоянии L2 = 0,3 м поле также ослабевает, но имеет положительное направление.
Таким образом, мы нашли значения электрической напряженности поля на расстояниях L1 и L2 от оси цилиндра с помощью теоремы Гаусса и построили график E(r).
Найдем сначала электрическое поле на расстоянии L1 = 0,05 м от оси цилиндра. Для этого мы выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра с радиусом r и высотой h, где h мало превышает L1 (объем внутри такого цилиндра не содержит заряд). Поверхность должна быть перпендикулярна оси цилиндра, чтобы использовать симметрию задачи.
Тогда поток электрического поля через эту поверхность будет:
Φ = E * S,
где S - площадь боковой поверхности цилиндра.
Величина заряда в объеме цилиндра будет:
dq = ρ * dV = ρ * S * dr,
где dV - объем элемента цилиндра, а dr - шаг изменения радиуса.
Тогда поток электрического поля можно выразить через шаг изменения радиуса:
dΦ = E * S * dr.
Суммируем потоки электрического поля за весь объем цилиндра:
Φ = ∫dΦ = ∫E * S * dr,
где интегрирование проводится от радиуса R до радиуса r.
Так как наш цилиндр бесконечный, то мы можем провести предельный переход:
Φ = ∫E(r) * S * dr = E * S * Δr,
где Δr = r - R.
Теперь можем подставить значения площади боковой поверхности цилиндра и площади S = 2πrh, где r = R + Δr, а h - высота цилиндра:
Φ = E * 2πrh * Δr.
Выразим E:
E = Φ / (2πrhΔr).
Теперь можем вычислить поток через замкнутую поверхность цилиндра:
Φ = q(encl) / ε0,
где q(encl) - заряд внутри поверхности, а ε0 - электрическая постоянная.
Заряд внутри поверхности может быть выражен через плотность заряда и объем внутри цилиндра:
q(encl) = ρ * V,
где V = πR^2h - объем цилиндра.
Расстояние L1 является малым, поэтому высоту цилиндра h можем взять равной L1.
Теперь можем выразить поток через замкнутую поверхность цилиндра:
Φ = ρ * πR^2L1 / ε0.
Подставим это значение в формулу для электрического поля:
E(L1) = ρ * πR^2L1 / (2πRL1Δr)
Сократим с π и L1:
E(L1) = ρ * R / (2RΔr)
Simplify:
E(L1) = ρ / (2Δr).
Теперь можем вычислить электрическое поле на расстоянии L1 = 0,05 м:
Δr = r - R = 0,05 м - 0,1 м = -0,05 м.
E(L1) = ρ / (2Δr) = (10 нКл/м7/2) / (2 * (-0,05 м)) = -100 нКл/м6/2.
Заметим, что получилось отрицательное значение поля, это говорит о том, что направление поля направлено к оси цилиндра.
Теперь вычислим электрическое поле на расстоянии L2 = 0,3 м.
Аналогично можно вычислить шаг изменения радиуса:
Δr = r - R = 0,3 м - 0,1 м = 0,2 м.
Теперь можем подставить значение шага и плотности заряда в формулу для электрического поля:
E(L2) = ρ / (2Δr) = (10 нКл/м7/2) / (2 * 0,2 м) = 25 нКл/м6/2.
Заметим, что получилось положительное значение поля, это говорит о том, что направление поля направлено от оси цилиндра.
Теперь давайте построим график E(r) для расстояний от 0,05 м до 0,3 м от оси цилиндра.
(На графике будет ось X с расстояниями от 0,05 м до 0,3 м и ось Y с значениями электрической напряженности поля)
Из графика мы можем увидеть, что начиная с расстояния L1 = 0,05 м, электрическое поле имеет отрицательное направление и ослабевает по мере удаления от оси цилиндра. При расстоянии L2 = 0,3 м поле также ослабевает, но имеет положительное направление.
Таким образом, мы нашли значения электрической напряженности поля на расстояниях L1 и L2 от оси цилиндра с помощью теоремы Гаусса и построили график E(r).