К двум проволкам одинаковой длины из одинакового материала, но имеющим разный радиус поперечного сечения (r1 = 3r2), подвешены груды одинаковой массы. Относительное удлинение первой проволки: 1) в 3 раза больше, чем второй
2) в 3 раза меньше, чем второй
3) в 9 раз больше, чем второй
4) в 9 раз меньше, чем второй
Для начала, рассмотрим формулу для удлинения проволоки, связанное с силой тяжести, массой и длиной проволоки:
δ = (mgL)/(πr^2E)
где:
- δ - относительное удлинение проволоки,
- m - масса груза,
- g - ускорение свободного падения,
- L - длина проволоки,
- r - радиус поперечного сечения проволоки,
- E - модуль упругости материала, из которого сделана проволока.
Так как говорится, что груды имеют одинаковую массу, полагаем, что масса груза одинакова между проволками (m1 = m2 = m).
Также обратим внимание на то, что длина проволок одинаковая (L1 = L2 = L).
Относительное удлинение первой проволоки будет равно:
δ1 = (mgL)/(πr1^2E) = (mgL)/(π(3r2)^2E) = (mgL)/(9πr2^2E)
Относительное удлинение второй проволоки будет равно:
δ2 = (mgL)/(πr2^2E)
Теперь мы должны сравнить относительные удлинения проволок.
1) Вариант: относительное удлинение первой проволоки в 3 раза больше, чем второй.
Это означает, что δ1 = 3δ2. Подставим значения:
(mgL)/(9πr2^2E) = 3(mgL)/(πr2^2E)
(mgL)/(9r2^2E) = 3(mgL)/(r2^2E)
Упростим уравнение, деля обе части на (mgL)/(r2^2E):
1/9 = 3
Очевидно, что эта ситуация невозможна. Ответ 1) невозможен.
2) Вариант: относительное удлинение первой проволоки в 3 раза меньше, чем второй.
Это означает, что δ1 = (1/3)δ2. Подставим значения:
(mgL)/(9πr2^2E) = (1/3)(mgL)/(πr2^2E)
(mgL)/(9r2^2E) = (mgL)/(3r2^2E)
Упростим уравнение, деля обе части на (mgL)/(r2^2E):
1/9 = 1/3
Очевидно, что эта ситуация также невозможна. Ответ 2) невозможен.
3) Вариант: относительное удлинение первой проволоки в 9 раз больше, чем второй.
Это означает, что δ1 = 9δ2. Подставим значения:
(mgL)/(9πr2^2E) = 9(mgL)/(πr2^2E)
(mgL)/(9r2^2E) = 9(mgL)/(r2^2E)
Упростим уравнение, деля обе части на (mgL)/(r2^2E):
1/9 = 9
Опять же, эта ситуация невозможна. Ответ 3) невозможен.
4) Вариант: относительное удлинение первой проволоки в 9 раз меньше, чем второй.
Такая ситуация наиболее вероятна, и для этого мы должны подобрать соответствующие значения для радиусов проволок и их материалов, чтобы уравнение сработало.
Подставим значения:
(mgL)/(9πr2^2E) = (1/9)(mgL)/(πr2^2E)
(mgL)/(9r2^2E) = (mgL)/(9r2^2E)
Обе части уравнения равны. Ответ 4) возможен при условии, когда радиус первой проволоки в 3 раза больше, чем радиус второй проволоки (r1 = 3r2).
Итак, ответ 4) вариант относительное удлинение первой проволоки в 9 раз меньше, чем второй возможен только в том случае, если радиус первой проволоки в 3 раза больше, чем радиус второй проволоки.