Будем рассматривать малые деформации, т.к. закон Гука работает только при малых деформациях - таких, при которых тело после снятия нагрузки возвращает свои размеры и форму в исходное состояние.
Известно, что при нагрузке на проволоку (или стержень) внутри неё возникают силы, стремящиеся вернуть частицы, из которых состоит проволока, в исходное положение. В совокупности эти силы составляют единую силу, которая действует на проволоку. Эта сила, как известно, называется силой упругости, и направлена она в противоположную силе нагрузки сторону, а по модулю равна ей:
F = |-Fупр|
Экспериментально доказано, что сила упругости в теле прямо пропорциональна деформации тела (если деформация небольшая и является упругой, а не пластической) и наоборот - деформация тела прямо пропорциональна силе упругости:
Fупр = k*x
Коэффициент пропорциональности k - это жёсткость тела, в данном случае - проволоки. Очевидно, что коэффициент k зависит от вещества, из которого состоит проволока, и её геометрических параметров. Попробуем выяснить его пропорциональность площади поперечного сечения проволоки S и её длине L.
При растяжении (или сжатии) проволока удлиняется (или укорачивается) на величину "x", которая и характеризует деформацию.
С другой стороны, если мы измерим поперечное сечение проволоки и силу, приложенную к ней и действующую на растяжение (или сжатие), то получим нечто похожее на давление:
F/S, где F по модулю равна Fупр, т.е.:
Fупр/S - это отношение является механическим напряжением σ, т.о.:
σ = Fупр/S
Т.к. нагрузка - это приложение силы, а механическое напряжение прямо пропорционально этой силе (а значит - и силе упругости в проволоке), то чем больше нагрузка на проволоку, тем больше механическое напряжение. И совершенно очевидно то, что чем больше нагрузка, тем больше деформируется проволока. Следовательно, деформация и механическое напряжение пропорциональны:
x ~ σ => x ~ Fупр/S
Но если так, то сама сила упругости будет пропорциональна произведению деформации и площади поперечного сечения проволоки:
x ~ Fупр/S | * S
Fупр ~ x*S, а т.к. Fупр = k*x, то
k*x ~ x*S - избавимся от множителя x, получим:
k*x ~ x*S | : х
k ~ S - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки.
Однако, необходимо понять, как пропорциональна жёсткость проволоки её длине - прямо или обратно. Если мы измерим деформацию (длину сжатия или растяжения), длину проволоки без нагрузки на неё, то сможем получить ещё одну косвенную величину - относительную деформацию ε, которая является отношением деформации тела (проволоки или стержня) к его собственной длине:
ε = x/L
Т.к. x ~ σ, а ε ~ x, то
ε ~ σ => x/L ~ Fупр/S =>
=> Fупр ~ (x/L)*S =>
=> k*x ~ (x/L)*S или, что то же самое:
k*x ~ x*(S/L) | : x
k ~ S/L - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки и обратно пропорциональна её длине.
Вынужденные колебания возникают в системе под действием внешней периодической ЭДС. Если внешняя периодическая ЭДС является гармонической (т.е. изменяется по синусу или косинусу), то возникающие колебания будут гармоническими. Вынужденные колебания (установившиеся) происходят с частотой вынуждающей силы, их нельзя возбудить за счет ненулевых начальных условий. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей ЭДС, от инерциальных (индуктивность) свойств системы и от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний системы. Наряду с вынужденными колебаниями в системе при наличии ненулевых начальных условий возникают и собственные колебания, которые при наличии сопротивления будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, их амплитуда зависит от начальных условий. В системе возникают также сопровождающие колебания, которые при наличии сопротивления также будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, но их амплитуда зависит от параметров внешней ЭДС. При наличии активного сопротивления все колебания, кроме вынужденных колебаний с течением времени затухнут. Т.е. установившиеся колебания являются вынужденными колебаниями и происходят с частотой вынуждающей силы. Если частота вынуждающей силы мало отличается от частоты собственных колебаний, а активное сопротивление отсутствует, то наблюдаются биения - колебания, амплитуда которых медленно изменяется с течением времени по гармоническому закону. При приближении частоты вынуждающей ЭДС к частоте собственных колебаний наблюдается явление резонанса, которое заключается в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота зависит от параметров вынуждающей ЭДС, инерциальных свойств системы (индуктивности), собственной частоты и коэффициента затухания. При наличии сопротивления амплитуда заряда, силы тока достигает максимального значения при различной частоте вынуждающей силы. При отсутствии сопротивления в случае резонанса амплитуда колебаний монотонно нарастает со временем. При наличии активного сопротивления, амплитуда колебаний остается конечной величиной. При действии на систему периодической негармонической ЭДС, резонанс возможен, если период возмущающей силы равен или кратен периоду колебаний системы. Для силы тока резонанс наступает на собственной частоте $\omega _{0}$ не зависимо от величины затухания.
Будем рассматривать малые деформации, т.к. закон Гука работает только при малых деформациях - таких, при которых тело после снятия нагрузки возвращает свои размеры и форму в исходное состояние.
Известно, что при нагрузке на проволоку (или стержень) внутри неё возникают силы, стремящиеся вернуть частицы, из которых состоит проволока, в исходное положение. В совокупности эти силы составляют единую силу, которая действует на проволоку. Эта сила, как известно, называется силой упругости, и направлена она в противоположную силе нагрузки сторону, а по модулю равна ей:
F = |-Fупр|
Экспериментально доказано, что сила упругости в теле прямо пропорциональна деформации тела (если деформация небольшая и является упругой, а не пластической) и наоборот - деформация тела прямо пропорциональна силе упругости:
Fупр = k*x
Коэффициент пропорциональности k - это жёсткость тела, в данном случае - проволоки. Очевидно, что коэффициент k зависит от вещества, из которого состоит проволока, и её геометрических параметров. Попробуем выяснить его пропорциональность площади поперечного сечения проволоки S и её длине L.
При растяжении (или сжатии) проволока удлиняется (или укорачивается) на величину "x", которая и характеризует деформацию.
С другой стороны, если мы измерим поперечное сечение проволоки и силу, приложенную к ней и действующую на растяжение (или сжатие), то получим нечто похожее на давление:
F/S, где F по модулю равна Fупр, т.е.:
Fупр/S - это отношение является механическим напряжением σ, т.о.:
σ = Fупр/S
Т.к. нагрузка - это приложение силы, а механическое напряжение прямо пропорционально этой силе (а значит - и силе упругости в проволоке), то чем больше нагрузка на проволоку, тем больше механическое напряжение. И совершенно очевидно то, что чем больше нагрузка, тем больше деформируется проволока. Следовательно, деформация и механическое напряжение пропорциональны:
x ~ σ => x ~ Fупр/S
Но если так, то сама сила упругости будет пропорциональна произведению деформации и площади поперечного сечения проволоки:
x ~ Fупр/S | * S
Fупр ~ x*S, а т.к. Fупр = k*x, то
k*x ~ x*S - избавимся от множителя x, получим:
k*x ~ x*S | : х
k ~ S - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки.
Однако, необходимо понять, как пропорциональна жёсткость проволоки её длине - прямо или обратно. Если мы измерим деформацию (длину сжатия или растяжения), длину проволоки без нагрузки на неё, то сможем получить ещё одну косвенную величину - относительную деформацию ε, которая является отношением деформации тела (проволоки или стержня) к его собственной длине:
ε = x/L
Т.к. x ~ σ, а ε ~ x, то
ε ~ σ => x/L ~ Fупр/S =>
=> Fупр ~ (x/L)*S =>
=> k*x ~ (x/L)*S или, что то же самое:
k*x ~ x*(S/L) | : x
k ~ S/L - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки и обратно пропорциональна её длине.
Если внешняя периодическая ЭДС является гармонической (т.е. изменяется по синусу или косинусу), то возникающие колебания будут гармоническими.
Вынужденные колебания (установившиеся) происходят с частотой вынуждающей силы, их нельзя возбудить за счет ненулевых начальных условий.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей ЭДС, от инерциальных (индуктивность) свойств системы и от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний системы.
Наряду с вынужденными колебаниями в системе при наличии ненулевых начальных условий возникают и собственные колебания, которые при наличии сопротивления будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, их амплитуда зависит от начальных условий.
В системе возникают также сопровождающие колебания, которые при наличии сопротивления также будут затухающими. Эти колебания происходят с собственной частотой, но их амплитуда зависит от параметров внешней ЭДС.
При наличии активного сопротивления все колебания, кроме вынужденных колебаний с течением времени затухнут. Т.е. установившиеся колебания являются вынужденными колебаниями и происходят с частотой вынуждающей силы.
Если частота вынуждающей силы мало отличается от частоты собственных колебаний, а активное сопротивление отсутствует, то наблюдаются биения - колебания, амплитуда которых медленно изменяется с течением времени по гармоническому закону.
При приближении частоты вынуждающей ЭДС к частоте собственных колебаний наблюдается явление резонанса, которое заключается в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний.
Резонансная частота зависит от параметров вынуждающей ЭДС, инерциальных свойств системы (индуктивности), собственной частоты и коэффициента затухания.
При наличии сопротивления амплитуда заряда, силы тока достигает максимального значения при различной частоте вынуждающей силы.
При отсутствии сопротивления в случае резонанса амплитуда колебаний монотонно нарастает со временем.
При наличии активного сопротивления, амплитуда колебаний остается конечной величиной.
При действии на систему периодической негармонической ЭДС, резонанс возможен, если период возмущающей силы равен или кратен периоду колебаний системы.
Для силы тока резонанс наступает на собственной частоте $\omega _{0}$ не зависимо от величины затухания.