Нам требуется найти полное ускорение точки, которое является геометрической суммой её нормального ускорения и тангенциального ускорения:
а = √(а_n² + а_τ²)
Для того, чтобы найти а_n и а_τ, предполагается, что известно расстояние R от точки до центра диска, т.к.:
а_n = υ²/R
a_τ = ε*R
Но мы можем воспользоваться формулой линейной скорости υ точки:
υ = ω*R => R = υ/ω
ω - это угловая скорость вращения точки, и она нам тоже известна, т.к.:
ω = Δφ/Δt
Δφ = φ2 - φ1
Δt = t2 - t1
Теперь кое-какие пояснения по поводу того, почему величины Δφ и Δt известны:
По условиям диск в начальный момент покоится. Затем он начинает вращаться, и вращение его точек происходит с ускорением. Причём ускорение это угловое - ε.
На самом деле зависимость, которая дана в условиях, аналогична зависимости из прямолинейного равноускоренного движения:
φ = Аt²
s = at²/2
Всё то же самое, только вместо линейного перемещения у нас угловое, и вместо линейного ускорения - тоже угловое. Надо только преобразовать зависимость φ от t, чтобы аналогия была более очевидной:
φ = Аt² = εt²/2
Значит, угловое ускорение равно:
Аt² = εt²/2 | : t²
A = ε/2
ε = 2Α
Т.к. в начальный момент диск покоится, то угол его поворота равен нулю (это по аналогии с линейным перемещением - в начальный момент движения перемещение равно нулю):
φ1 = 0
Следовательно, изменение угла равно углу поворота через время Δt = t2 - t1, где t1 = 0 (т.к. начало движения диска происходит в начальный момент времени):
Δφ = φ2 - φ1 = φ2 - 0 = φ2, и значит угловая скорость в момент времени t2 равна:
ω = φ2/t2, где t2 = t по условиям задачи, а φ2 = φ = Аt² по условиям задачи, т.е.:
ω = φ/t = At²/t = At
Теперь возвращаемся к выражению для R:
R = υ/ω = υ/(Αt)
Всё необходимое у нас есть, теперь мы можем подставить в формулы для нормального и тангенциального ускорений выражение расстояния R и решить задачу:
Дано:
m1, m2 - массы взаимодействующих тел;
G - гравитационная постоянная;
R - расстояние между телами;
m3 = 5 * m1 - массу первого тела увеличили в 5 раз.
Требуется определить F2 / F1 - соотношение силы всемирного притяжения в первом и во втором случаях.
Найдем силу притяжения в первом случае:
F1 = G * m1 * m2 / R^2.
Найдем силу притяжения во втором случае:
F2 = G * m3 * m2 / R^2 = 5 * G * m1 * m2 / R^2.
Тогда:
F2 / F1 = (5 * G * m1 * m2 / R^2) / (G * m1 * m2 / R^2) = 5.
ответ: сила всемирного тяготения увеличится в 5 раз.
Дано:
φ = Αt²
A = 0,5 рад/с²
t = 2 c
υ = 2 м/с
а - ?
Нам требуется найти полное ускорение точки, которое является геометрической суммой её нормального ускорения и тангенциального ускорения:
а = √(а_n² + а_τ²)
Для того, чтобы найти а_n и а_τ, предполагается, что известно расстояние R от точки до центра диска, т.к.:
а_n = υ²/R
a_τ = ε*R
Но мы можем воспользоваться формулой линейной скорости υ точки:
υ = ω*R => R = υ/ω
ω - это угловая скорость вращения точки, и она нам тоже известна, т.к.:
ω = Δφ/Δt
Δφ = φ2 - φ1
Δt = t2 - t1
Теперь кое-какие пояснения по поводу того, почему величины Δφ и Δt известны:
По условиям диск в начальный момент покоится. Затем он начинает вращаться, и вращение его точек происходит с ускорением. Причём ускорение это угловое - ε.
На самом деле зависимость, которая дана в условиях, аналогична зависимости из прямолинейного равноускоренного движения:
φ = Аt²
s = at²/2
Всё то же самое, только вместо линейного перемещения у нас угловое, и вместо линейного ускорения - тоже угловое. Надо только преобразовать зависимость φ от t, чтобы аналогия была более очевидной:
φ = Аt² = εt²/2
Значит, угловое ускорение равно:
Аt² = εt²/2 | : t²
A = ε/2
ε = 2Α
Т.к. в начальный момент диск покоится, то угол его поворота равен нулю (это по аналогии с линейным перемещением - в начальный момент движения перемещение равно нулю):
φ1 = 0
Следовательно, изменение угла равно углу поворота через время Δt = t2 - t1, где t1 = 0 (т.к. начало движения диска происходит в начальный момент времени):
Δφ = φ2 - φ1 = φ2 - 0 = φ2, и значит угловая скорость в момент времени t2 равна:
ω = φ2/t2, где t2 = t по условиям задачи, а φ2 = φ = Аt² по условиям задачи, т.е.:
ω = φ/t = At²/t = At
Теперь возвращаемся к выражению для R:
R = υ/ω = υ/(Αt)
Всё необходимое у нас есть, теперь мы можем подставить в формулы для нормального и тангенциального ускорений выражение расстояния R и решить задачу:
а_n = υ²/R = υ²/(υ/Αt) = υAt
a_τ = ε*R = 2A*(υ/Αt) = 2υ/t
а = √(а_n² + а_τ²) = √(υ²Α²t² + 2²υ²/t²) = √(υ²(Α²t² + 2²/t²)) = υ*√(Α²t² + 2²/t²) = 2*√(0,5²*2² + 2²/2²) = 2*√(0,25*4 + 1) = 2*√2 = 2*1,41 = 2,82 м/с²
ответ: примерно 2,82 м/с².