Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.
Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.
При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.
Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.
Краткая теория
Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.
Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)
или в скалярном виде в проекциях:
на ось OX: .
на ось ОУ:
Уравнение моментов относительно оси
.
При отсутствии проскальзывания
.
Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела
, (1)
где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.
Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения ( ). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести
(2)
или проинтегрировав выражение (2) в пределах от до , получим,
где - кинетическая энергия тела в конце наклонной плоскости, - начальная энергия (кинетическая) тела, ; - длина наклонной плоскости, тогда энергия тела
, (3)
откуда
. (4)
Поступательное движение тела по наклонной плоскости происходит равноускоренно, поэтому можно записать
, (5)
где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому
, (6)
так как
(7)
Выражение (4) с учетом (6) и (7) может быть записано
, (8)
где – ускорение поступательного движения тела при скатывании по наклонной плоскости.
Так как это равноускоренное движение с начальной скоростью , то можно записать или , подставляя значение а в (8) окончательно получим
, (9)
где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.
Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.
Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ п/п Форма скатывающегося тела Масса , кг Радиус , м Длина наклонной плоскости (м) Время скатывания, с Момент инерции , кг·м2
*･゜ﾟ(^O^)↝╰( ･ ᗜ ･ )➝⟵(๑¯◡¯๑)←(*꒪ヮ꒪*)(☞^o^) ☞´◔‿ゝ◔`)━☞←(*꒪ヮ꒪*)←(*꒪ヮ꒪*)´◔‿ゝ◔`)━☞(☉｡☉)!→←(*꒪ヮ꒪*)(☉｡☉)!→´◔‿ゝ◔`)━☞(☞^o^) ☞´◔‿ゝ◔`)━☞ԅ( ͒ ͒ )ᕤ⟵(๑¯◡¯๑)←(>▽<)ﾉԅ( ͒ ͒ )ᕤ(☉｡☉)!→╰( ･ ᗜ ･ )➝←(*꒪ヮ꒪*)⟵(o_O) (*❛‿❛)→(☞^o^) ☞ԅ( ͒ ͒ )ᕤ(?・・)σ(☞^o^) ☞(?・・)σ(☉｡☉)!→(☞ﾟヮﾟ)☞(☉｡☉)!→(☞ﾟヮﾟ)☞(☞ﾟヮﾟ)☞(*❛‿❛)→(☞ﾟヮﾟ)☞(*❛‿❛)→( ･ω･)☞(*❛‿❛)→( ･ω･)☞(*❛‿❛)→( ･ω･)☞(*❛‿❛)→(*❛‿❛)→( ･ω･)☞(*❛‿❛)→( ･ω･)☞╰( ･ ᗜ ･ )➝(☞ﾟヮﾟ)☞´◔‿ゝ◔`)━☞(˘･_･˘)(＠_＠;)(╬☉д⊙)⊰⊹ฺ(⊙_◎)(⊙_◎)(*・～・*)(＠_＠;)(─.─||）(^～^;)ゞ(^_^メ)(-_-;)・・・(-_-;)・・・(-_-;)・・・(´-﹏-`；)(-_-;)・・・(´-﹏-`；)(ー_ー゛)(´-﹏-`；)(ー_ー゛)(─.─||）(・–・;)ゞ(・–・;)ゞ(─.─||）(・–・;)ゞ(˘･_･˘)(─.─||）(˘･_･˘)(─.─||）(˘･_･˘)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(─.─||）(＠_＠;)(─.─||）(＠_＠;)(^～^;)ゞಠ_ಠಠ_ಠಠ_ಠಠ_ಠಠ∀ಠʕಠ_ಠʔಠ∀ಠಠ∀ಠʕಠ_ಠʔಠ∀ಠ[̲̅$̲̅(̲̅ ͡ಠ_ಠ)̲̅$̲̅]ಠ∀ಠ¯\_ಠ_ಠ_/¯¯\_ಠ_ಠ_/¯(ಠ_ಠ)━☆ﾟ.*･｡ﾟ(ಠ_ಠ)━☆ﾟ.*･｡ﾟ(ب_ب)(ಠ_ಠ)━☆ﾟ.*･｡ﾟ(ب_ب)(ಠ_ಠ)━☆ﾟ.*･｡ﾟ(ب_ب)(ಠ_ಠ)━☆ﾟ.*･｡ﾟ(ب_ب)(눈‸눈)(ب_ب)(눈‸눈)(ب_ب)(눈‸눈)(ب_ب)(눈‸눈)(ب_ب):-[:-P:-P:-[}:‑);-)}:‑);):-|(TT):'((TT):'(:-[:'(:'((*_*):'(:-|(*_*)(TT):'((*_*):-|;-)}:‑):,-)o:-):,-)(^^):,-)o:-)(TT)O_o(*_*)O_o(*_*)(*_*)O_o:0O_o(*_*)O_o(TT)O_o(TT)=_=(TT)=_=(TT)(TT)=_=(TT):-[:-\=_=:-\=_==_=:-|:-[:-|=_=:-|=_=:-|=_=:-|=_=:-|:-|:-[:-|=_=:-|:-|:-[:-|:-[:-|=_=:-|:-|(´ε｀ ) ♥╣[-_-]╠♥꒰⑅ᵕ༚ᵕ꒱˖♡♥╣[-_-]╠♥꒰⑅ᵕ༚ᵕ꒱˖♡♥╣[-_-]╠♥(●♡∀♡)♡(ӦｖӦ｡)(♡ω♡ ) ~♪♡(ӦｖӦ｡)(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(~￣³￣)~(ʃƪ＾3＾）(~￣³￣)~(๑˙❥˙๑)(~￣³￣)~(●’3)♡(ε`●)(~￣³￣)~(~￣³￣)~(●’3)♡(ε`●)(~￣³￣)~(●’3)♡(ε`●)(｡・//ε//・｡)(๑˙❥˙๑)(｡・//ε//・｡)(´ε｀ ) ♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♥╣[-_-]╠♥(｡・//ε//・｡)♥╣[-_-]╠♥(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♥╣[-_-]╠♥♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) (´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)(｡・//ε//・｡)♡(ӦｖӦ｡)(｡・//ε//・｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♡(ӦｖӦ｡)♡(ӦｖӦ｡)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) (´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♥╣[-_-]╠♥(´∩｡• ᵕ •｡∩`) ♥╣[-_-]╠♥(´ε｀ ) (´∩｡• ᵕ •｡∩`) (｡・//ε//・｡)(｡・//ε//・｡)(〃ﾟ3ﾟ〃)(〃ﾟ3ﾟ〃)(｡・//ε//・｡)(〃ﾟ3ﾟ〃)(｡・//ε//・｡)(◕દ◕)(｡・//ε//・｡)(◕દ◕)(｡・//ε//・｡)(｡・//ε//・｡)(◕દ◕)(◕દ◕)(｡・//ε//・｡)(｡・//ε//・｡)(◕દ◕)(´∩｡• ᵕ •｡∩`) (•ө•)♡꒰⑅ᵕ༚ᵕ꒱˖♡(•ө•)♡(•ө•)♡( ◜‿◝ )♡(◍•ᴗ•◍)❤(•ө•)♡(•ө•)♡(◍•ᴗ•◍)❤(•ө•)♡(◍•ᴗ•◍)❤(•ө•)♡(◍•ᴗ•◍)❤♡(ӦｖӦ｡)(ʃƪ＾3＾）(~￣³￣)~
Объяснение:
Задание. Исследовать скатывание цилиндров и шара по наклонной плоскости.
Примечание: если цилиндр или шар скатывается по наклонной плоскости, расположенной под небольшим углом к горизонту, то скатывание происходит без проскальзывания. Если угол наклона плоскости превысит некоторое предельное значение, то скатывание будет происходить с проскальзыванием.
При выполнении задания необходимо определить тот предельный угол, при котором скатывание тел начнет происходить с проскальзыванием. По результатам исследования составить отчет, в котором отразить методику исследования, предоставить таблицу результатов наблюдений и дать объяснение, почему при угле, превышающем некоторое значение, скатывание тел происходит с проскальзыванием.
Кроме того, в задачу входит определение момента инерции цилиндров и шара no результатам наблюдений скатывания их с наклонной плоскости.
Краткая теория
Положим, цилиндр катится по наклонной плоскости без скольжения. На цилиндр действуют внешние силы: сила тяжести , сила трения , и сила реакции со стороны плоскости . Движение рассматриваем как поступательное со скоростью, равной скорости центра масс, и вращательное относительно оси, проходящей через центр масс.
Уравнение для движения центра масс шара (цилиндра)
или в скалярном виде в проекциях:
на ось OX: .
на ось ОУ:
Уравнение моментов относительно оси
.
При отсутствии проскальзывания
.
Найдем ускорение, которое приобретает цилиндр под действием указанных сил. Оно может быть найдено путем использования выражения для кинетической энергии катящегося тела
, (1)
где - масса шара (цилиндра), - скорость поступательного движения центра масс, - момент инерции шара, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения, относительно оси вращения.
Изменение кинетической энергии тела равно работе внешних сил, действующих на тело. Элементарная работа силы трения и реакции, плоскости равна нулю, т.к. линии действия их проходят через мгновенную ось вращения ( ). Следовательно, изменение кинетической энергии тела происходит только за счёт работы силы тяжести
(2)
или проинтегрировав выражение (2) в пределах от до , получим,
где - кинетическая энергия тела в конце наклонной плоскости, - начальная энергия (кинетическая) тела, ; - длина наклонной плоскости, тогда энергия тела
, (3)
откуда
. (4)
Поступательное движение тела по наклонной плоскости происходит равноускоренно, поэтому можно записать
, (5)
где - конечная скорость центра масс в конце наклонной плоскости, - начальная скорость, она равна нулю, поэтому
, (6)
так как
(7)
Выражение (4) с учетом (6) и (7) может быть записано
, (8)
где – ускорение поступательного движения тела при скатывании по наклонной плоскости.
Так как это равноускоренное движение с начальной скоростью , то можно записать или , подставляя значение а в (8) окончательно получим
, (9)
где - время скатывания тела по наклонной плоскости, - радиус шара (цилиндра), - масса шара (цилиндра), - угол наклона плоскости к горизонту, - длина наклонной плоскости.
Измерив указанные выше величины, можно вычислить момент инерции скатывающегося цилиндра. Он может быть сплошным, пустотелым, с канавками на его образующей поверхности и т.д. Формула (9): справедлива и для цилиндров и для шара.
Эксперимент с каждым из тел проводить не менее трех раз. Результаты наблюдений и вычислений занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ п/п Форма скатывающегося тела Масса , кг Радиус , м Длина наклонной плоскости (м) Время скатывания, с Момент инерции , кг·м2