какую работу совершит человек, переходя от края платформы к ее центру, если платформа(диск) имеет массу 100кг и вращается, делая v= 15 об/мин, а человек (точечная масса) имеет массу 60кг? радиус платформы 2м.
Здравствуй, ученик! Сегодня мы рассмотрим задачу о работе, которую совершает человек на вращающейся платформе.
Сначала давайте определим основные данные из условия задачи:
- Масса платформы (диска) равна 100 кг.
- Вращение платформы происходит со скоростью 15 оборотов в минуту (v = 15 об/мин).
- Масса человека – 60 кг.
- Радиус платформы равен 2 метра.
В нашем случае работа, которую должен совершить человек, будет равна изменению кинетической энергии системы платформы и человека.
Для начала, нам необходимо вычислить начальную кинетическую энергию системы. Поскольку платформа вначале покоится, у нее не будет кинетической энергии. Зато у человека есть кинетическая энергия (так как он движется). Выразим это математически:
Кинетическая энергия человека (Кэ1) = (1/2) * масса человека * скорость человека^2
Кэ1 = (1/2) * 60 кг * 0^2 = 0 Дж
Далее, чтобы найти конечную кинетическую энергию системы, мы должны учесть как кинетическую энергию платформы, так и кинетическую энергию человека.
Кинетическая энергия платформы (Кэп):
Для вычисления кинетической энергии платформы, мы будем использовать формулу: Кэп = (1/2) * масса платформы * скорость платформы^2.
Однако, чтобы найти скорость платформы, нам необходимо преобразовать единицы измерения скорости из оборотов в минуту (об/мин) в обороты в секунду (об/с).
1 минута = 60 секунд.
То есть, расчитаем скорость платформы в оборотах в секунду:
скорость платформы = v / 60 = 15 об/мин / 60 сек = 0,25 об/с
Теперь, используя полученное значение, мы можем вычислить кинетическую энергию платформы:
Кэп = (1/2) * 100 кг * 0,25^2 об^2/с^2 = 3,125 Дж
Кинетическая энергия человека (Кэ2):
Мы уже посчитали, что начальная кинетическая энергия человека равна 0 Дж. Сейчас нам нужно найти его конечную кинетическую энергию.
Кэ2 = (1/2) * масса человека * скорость человека^2
Так как человек движется от края платформы к ее центру, его скорость будет уменьшаться по мере его движения. Давайте рассчитаем его скорость на центре платформы.
Момент инерции системы (момент инерции платформы (Iп) + момент инерции человека (Iч)):
Момент инерции платформы, вокруг ее оси вращения, зависит от ее формы. Она является диском и момент инерции такой формы можно посчитать, используя соответствующую формулу: Iп = (1/2) * масса платформы * радиус платформы^2.
Iп = (1/2) * 100 кг * (2 м)^2 = 200 кг*м^2
Момент инерции человека можно считать пренебрежимо малым, так как его можно считать точечной массой. При этом момент инерции человека равен нулю: Iч = 0 кг*м^2
Теперь, используя полученные значения, мы можем применить закон сохранения момента импульса, который говорит нам, что момент импульса системы до и после движения должен быть одним и тем же.
Момент импульса до движения (L1) = Момент импульса после движения (L2)
Iп * ω1 + Iч * ω1 = Iп * ω2 + Iч * ω2
Так как момент инерции человека Iч = 0 кг*м^2, у нас остается следующее уравнение:
Iп * ω1 = Iп * ω2
Где ω1 и ω2 - угловые скорости платформы до и после, соответственно.
Так как мы ищем угловую скорость человека ω2, когда он достигнет центра платформы, ω2 будет нулевым, в то время как ω1 - угловая скорость платформы, равная скорости платформы, деленной на радиус платформы.
Таким образом, ω1 = v / r = 0,25 об/с / 2 м = 0,125 об/с
Теперь, зная ω1 и ω2, мы можем сравнить моменты импульса:
Сначала давайте определим основные данные из условия задачи:
- Масса платформы (диска) равна 100 кг.
- Вращение платформы происходит со скоростью 15 оборотов в минуту (v = 15 об/мин).
- Масса человека – 60 кг.
- Радиус платформы равен 2 метра.
В нашем случае работа, которую должен совершить человек, будет равна изменению кинетической энергии системы платформы и человека.
Для начала, нам необходимо вычислить начальную кинетическую энергию системы. Поскольку платформа вначале покоится, у нее не будет кинетической энергии. Зато у человека есть кинетическая энергия (так как он движется). Выразим это математически:
Кинетическая энергия человека (Кэ1) = (1/2) * масса человека * скорость человека^2
Кэ1 = (1/2) * 60 кг * 0^2 = 0 Дж
Далее, чтобы найти конечную кинетическую энергию системы, мы должны учесть как кинетическую энергию платформы, так и кинетическую энергию человека.
Кинетическая энергия платформы (Кэп):
Для вычисления кинетической энергии платформы, мы будем использовать формулу: Кэп = (1/2) * масса платформы * скорость платформы^2.
Однако, чтобы найти скорость платформы, нам необходимо преобразовать единицы измерения скорости из оборотов в минуту (об/мин) в обороты в секунду (об/с).
1 минута = 60 секунд.
То есть, расчитаем скорость платформы в оборотах в секунду:
скорость платформы = v / 60 = 15 об/мин / 60 сек = 0,25 об/с
Теперь, используя полученное значение, мы можем вычислить кинетическую энергию платформы:
Кэп = (1/2) * 100 кг * 0,25^2 об^2/с^2 = 3,125 Дж
Кинетическая энергия человека (Кэ2):
Мы уже посчитали, что начальная кинетическая энергия человека равна 0 Дж. Сейчас нам нужно найти его конечную кинетическую энергию.
Кэ2 = (1/2) * масса человека * скорость человека^2
Так как человек движется от края платформы к ее центру, его скорость будет уменьшаться по мере его движения. Давайте рассчитаем его скорость на центре платформы.
Момент инерции системы (момент инерции платформы (Iп) + момент инерции человека (Iч)):
Момент инерции платформы, вокруг ее оси вращения, зависит от ее формы. Она является диском и момент инерции такой формы можно посчитать, используя соответствующую формулу: Iп = (1/2) * масса платформы * радиус платформы^2.
Iп = (1/2) * 100 кг * (2 м)^2 = 200 кг*м^2
Момент инерции человека можно считать пренебрежимо малым, так как его можно считать точечной массой. При этом момент инерции человека равен нулю: Iч = 0 кг*м^2
Теперь, используя полученные значения, мы можем применить закон сохранения момента импульса, который говорит нам, что момент импульса системы до и после движения должен быть одним и тем же.
Момент импульса до движения (L1) = Момент импульса после движения (L2)
Iп * ω1 + Iч * ω1 = Iп * ω2 + Iч * ω2
Так как момент инерции человека Iч = 0 кг*м^2, у нас остается следующее уравнение:
Iп * ω1 = Iп * ω2
Где ω1 и ω2 - угловые скорости платформы до и после, соответственно.
Так как мы ищем угловую скорость человека ω2, когда он достигнет центра платформы, ω2 будет нулевым, в то время как ω1 - угловая скорость платформы, равная скорости платформы, деленной на радиус платформы.
Таким образом, ω1 = v / r = 0,25 об/с / 2 м = 0,125 об/с
Теперь, зная ω1 и ω2, мы можем сравнить моменты импульса:
Iп * ω1 = Iп * ω2
200 кг*м^2 * 0,125 об/с = 200 кг*м^2 * ω2
Отсюда получаем:
0,125 об/с = ω2
Таким образом, угловая скорость человека при достижении центра платформы равна 0,125 оборота в секунду.
Теперь, используя полученное значение, мы сможем рассчитать конечную кинетическую энергию человека:
Кэ2 = (1/2) * 60 кг * (0,125 об/с)^2 = 0,469 Дж
Теперь, чтобы найти работу, которую совершает человек при движении, нам нужно найти разницу между конечной и начальной кинетической энергией системы:
Работа (W) = Кэ2 - Кэ1 = 0,469 Дж - 0 Дж = 0,469 Дж
Итак, мы получили, что работа, совершаемая человеком при переходе от края платформы к ее центру, составляет 0,469 Дж.