Катушка с параметрами R= 100Ом и L= 0,064 мГн соединена
последовательно с конденсатором. Найти емкость конденсатора, при которой
наступает резонанс напряжений, действующее значение тока и падение
напряжений на катушке и конденсаторе, если напряжение генератора
U=100В, а частота f = 106 Гц.
f_res = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C))
где f_res - резонансная частота, L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.
Найдем сначала резонансную частоту:
f_res = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(0.064 * 10^(-3) * C))
Подставим данные и найдем значение C:
106 * 10^6 = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(0.064 * 10^(-3) * C))
Перенесем C влево:
C = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(0.064 * 10^(-3) * 106 * 10^6))
Упростим выражение под знаком радикала:
C = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(0.064 * 10^(-3) * 10^6 * 106))
C = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(64 * 10^(-4) * 10^6 * 106))
C = 1 / (2 * 3.14 * 8 * 10^(-2) * 106)
C = 1 / (3.14 * 8 * 10^(-2) * 106)
C = 1 / (3.14 * 8 * 106 * 10^(-2))
C = 1 / (3.14 * 848 * 10^(-2))
C = 1 / (2664.32 * 10^(-2))
C = 1 / 26.6432
C ≈ 0.0375 мкФ (микрофарады)
Теперь найдем действующее значение тока. В резонансном состоянии действующее значение тока в контуре можно вычислить по формуле:
I_res = U / R
где I_res - действующее значение тока, U - напряжение генератора, R - сопротивление катушки.
Подставим данные и найдем значение I_res:
I_res = 100 / 100
I_res = 1 А (ампер)
Для рассчета падения напряжений на катушке и конденсаторе воспользуемся формулами:
U_L = I_res * X_L
U_C = I_res * X_C
где U_L - падение напряжения на катушке, U_C - падение напряжения на конденсаторе, X_L - реактивное сопротивление катушки, X_C - реактивное сопротивление конденсатора.
Реактивное сопротивление катушки можно вычислить по формуле:
X_L = 2 * pi * f_res * L
Подставим данные и найдем значение X_L:
X_L = 2 * 3.14 * 106 * 10^6 * 0.064 * 10^(-3)
X_L = 2 * 3.14 * 106 * 64 * 10^(-9)
X_L = 40235.2 * 10^(-9)
X_L = 40235.2 * 10^(-9) Ом
X_L = 40.2352 Ом
Реактивное сопротивление конденсатора можно вычислить по формуле:
X_C = 1 / (2 * pi * f_res * C)
Подставим данные и найдем значение X_C:
X_C = 1 / (2 * 3.14 * 106 * 10^6 * 0.0375 * 10^(-6))
X_C = 1 / (2 * 3.14 * 106 * 37.5 * 10^(-2))
X_C = 1 / (23622 * 10^(-2))
X_C = 1 / 236.22
X_C ≈ 0.0042 Ом
Теперь можно вычислить значения падения напряжений на катушке и конденсаторе:
U_L = 1 * 40.2352 ≈ 40.24 В
U_C = 1 * 0.0042 ≈ 0.004 В
Итак, для достижения резонанса напряжений в данном колебательном контуре необходима емкость конденсатора около 0.0375 мкФ (микрофарады). В резонансном состоянии действующее значение тока будет равно 1 А (ампер). Падение напряжения на катушке составит около 40.24 В (вольты), а на конденсаторе - около 0.004 В (вольты).