Колебательный контур радиоприёмника состоит из слюдяного конденсатора, площадь пластин которого 800 см
2
, а расстояние между ними 1 мм, и катушки. На какую длину волны резонирует этот контур, если максимальное напряжение на пластинах в 100 раз больше максимального значения силы тока в катушке. Диэлектрическая проницаемость слюды равна 6.
f = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C))
где:
f - резонансная частота
pi - математическая константа, примерное значение: 3.14
L - индуктивность катушки
C - емкость конденсатора
Найдем индуктивность катушки. Зная, что максимальное напряжение на пластинах конденсатора в 100 раз больше максимального значения силы тока в катушке, можем сказать, что отношение этих величин будет:
Uc / Il = 100
где:
Uc - максимальное напряжение на пластинах конденсатора
Il - максимальное значение силы тока в катушке
Найдем Uc. Площадь пластин конденсатора равна 800 см^2, а расстояние между ними составляет 1 мм. Для вычисления емкости конденсатора воспользуемся формулой:
C = (ε * ε0 * S) / d
где:
ε - диэлектрическая проницаемость слюды
ε0 - электрическая постоянная, примерное значение: 8.85 * 10^-12 Ф/м
S - площадь пластин конденсатора
d - расстояние между пластинами конденсатора
Подставляя известные значения, получаем:
C = (6 * 8.85 * 10^-12 Ф/м * 800 см^2) / 1 мм
Для дальнейшего расчета удобно перевести все в систему СИ:
C = (6 * 8.85 * 10^-12 Ф/м * 8 * 10^-4 м^2) / 10^-3 м
Таким образом, емкость конденсатора равна:
C = 6 * 8.85 * 10^(-8) Ф
Теперь найдем значение Il. Поскольку отношение максимального напряжения на пластинах конденсатора к максимальному значению силы тока в катушке равно 100, можно записать:
Uc / Il = 100
Рассмотрим максимальное значение напряжения на пластинах конденсатора. Максимальное напряжение на пластинах конденсатора (Uc_max) связано с максимальным значением заряда на пластинах (q_max) и емкостью конденсатора (С) следующим образом:
Uc_max = q_max / C
Также, максимальное значение силы тока в катушке (Il_max) связано с максимальным значением напряжения на катушке (Ul_max) и индуктивностью катушки (L) следующим образом:
Il_max = Ul_max / L
Подставляя данные в соотношение:
Uc / Il = 100
и используя связь максимальных значений, можно записать:
(q_max / C) / (Ul_max / L) = 100
Упрощая эту запись, получаем:
q_max / C = (Ul_max / L) * 100
Теперь, зная, что q_max = C * Uc_max, получаем:
C * Uc_max / C = (Ul_max / L) * 100
Упрощая эту запись, получаем:
Uc_max = (Ul_max / L) * 100
Таким образом, мы нашли связь между максимальными значениями напряжения на пластинах конденсатора и силы тока в катушке:
Uc_max = (Ul_max / L) * 100
Теперь, зная значение Uc_max и изначальное условие задачи, можем записать:
100 = (Ul_max / L) * 100
Упрощая эту запись, получаем:
1 = Ul_max / L
Таким образом, Ul_max = L.
Так как максимальное значение напряжения на катушке (Ul_max) равно индуктивности катушки (L), то L = 1.
Теперь с учетом найденных значений индуктивности L и емкости C, можем рассчитать резонансную частоту f по формуле:
f = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C))
Подставляя данные, получаем:
f = 1 / (2 * 3.14 * sqrt(1 * (6 * 8.85 * 10^(-8) Ф)))
Таким образом, для данного колебательного контура резонансная частота равна:
f ≈ 1.51 МГц
Таким образом, наш колебательный контур резонирует на длине волны примерно 1.51 МГц.