Пусть тело μ между m₂ и m₁ (возможен и другой вариант, когда m₂ бьёт по m₁, и μ получает удар последним, но он мне кажется менее подходящим) 1. соударение между движущимся m₂ и неподвижным μ Закон сохранения импульса m₂v₂ + μ*0 = m₂v₂' + μv' Энергии m₂v₂²/2 + μ*0²/2 = m₂v₂'²/2 + μv'²/2 Со штрихом - скорости после столкновения m₂(v₂-v₂') = μv' m₂(v₂² - v₂'²) = μv'² m₂(v₂² - v₂'²) = m₂(v₂-v₂')*m₂(v₂-v₂')/μ μ(v₂ + v₂') = m₂(v₂-v₂') μv₂ + μv₂' = m₂v₂ - m₂v₂' (μ+m₂)v₂'=(m₂-μ)v₂ v₂'=v₂(m₂-μ)/(μ+m₂) m₂(v₂-v₂(m₂-μ)/(μ+m₂)) = μv' m₂v₂(1-(m₂-μ)/(μ+m₂)) = μv' m₂v₂(μ+m₂-m₂+μ))/(μ+m₂) = μv' 2m₂v₂μ/(μ+m₂) = μv' 2m₂v₂/(μ+m₂) = v' v' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂) Аналогично и для второго соударения, между движущимся телом μ неподвижным m₁ v₁' = v' * 2μ/(μ+m₁) v₁' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂) * 2μ/(μ+m₁) Попробуем взять производную по μ и приравнять её к нулю, для поиска максимума скорости Производная сложной функции в нашем сучае она равна нулю. Знаменатель всегда положителен, т.к. массы неотрицательны. Остаётся приравнять нулю числитель (+m₂)μ(μ+m₁)-μ(2μ+m₂+m₁) = 0 μ^2+μ(m₂+m₁)+m₂-2μ^2-μ(m₂+m₁)=0 μ^2 = m₂*m₁ Получается, что для максимальной скорости массы М1 после удара масса среднего тела должна быть средним геометрическим от масс крайних тел Или в числах μ = sqrt(2*1) = 1,41 кг
Средняя скорость - это отношение всего пути ко всему времени. Значит по условию задачи у нас есть 3 участка пути, которые разделили временем. Дано: Участок 1: v=10м/с t=1ч=60мин Участов 2: v=15м/с t=2ч=120мин Участок 3: v=20м/с t=2ч=120мин Найти:Vср=(S1+S2+S2)/(t1+t2+t3) Решение: 1)S1=v1*t1=10*60=600(м) 2)S2=v2*t2=15*120=1800(м) 3)S3=v3*t3=20*120=2400(м) 4)Vср=(600+1800+2400)/(120*2+60)=4800/300=16(м/с) 16 м/с = 16*1000/3600=4.(4) (км/ч) ответ: 16 м/с.
1. соударение между движущимся m₂ и неподвижным μ
Закон сохранения импульса
m₂v₂ + μ*0 = m₂v₂' + μv'
Энергии
m₂v₂²/2 + μ*0²/2 = m₂v₂'²/2 + μv'²/2
Со штрихом - скорости после столкновения
m₂(v₂-v₂') = μv'
m₂(v₂² - v₂'²) = μv'²
m₂(v₂² - v₂'²) = m₂(v₂-v₂')*m₂(v₂-v₂')/μ
μ(v₂ + v₂') = m₂(v₂-v₂')
μv₂ + μv₂' = m₂v₂ - m₂v₂'
(μ+m₂)v₂'=(m₂-μ)v₂
v₂'=v₂(m₂-μ)/(μ+m₂)
m₂(v₂-v₂(m₂-μ)/(μ+m₂)) = μv'
m₂v₂(1-(m₂-μ)/(μ+m₂)) = μv'
m₂v₂(μ+m₂-m₂+μ))/(μ+m₂) = μv'
2m₂v₂μ/(μ+m₂) = μv'
2m₂v₂/(μ+m₂) = v'
v' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂)
Аналогично и для второго соударения, между движущимся телом μ неподвижным m₁
v₁' = v' * 2μ/(μ+m₁)
v₁' = v₂ * 2m₂/(μ+m₂) * 2μ/(μ+m₁)
Попробуем взять производную по μ и приравнять её к нулю, для поиска максимума скорости
Производная сложной функции
в нашем сучае она равна нулю. Знаменатель всегда положителен, т.к. массы неотрицательны. Остаётся приравнять нулю числитель
(+m₂)μ(μ+m₁)-μ(2μ+m₂+m₁) = 0
μ^2+μ(m₂+m₁)+m₂-2μ^2-μ(m₂+m₁)=0
μ^2 = m₂*m₁
Получается, что для максимальной скорости массы М1 после удара масса среднего тела должна быть средним геометрическим от масс крайних тел
Или в числах
μ = sqrt(2*1) = 1,41 кг
Значит по условию задачи у нас есть 3 участка пути, которые разделили временем.
Дано:
Участок 1: v=10м/с
t=1ч=60мин
Участов 2: v=15м/с
t=2ч=120мин
Участок 3: v=20м/с
t=2ч=120мин
Найти:Vср=(S1+S2+S2)/(t1+t2+t3)
Решение:
1)S1=v1*t1=10*60=600(м)
2)S2=v2*t2=15*120=1800(м)
3)S3=v3*t3=20*120=2400(м)
4)Vср=(600+1800+2400)/(120*2+60)=4800/300=16(м/с)
16 м/с = 16*1000/3600=4.(4) (км/ч)
ответ: 16 м/с.