Конькобежец хочет въехать на ледяную горку, разогнавшись перед ней до скорости 28,8 км/ч и продолжая работать ногами. на какую высоту от начального уровня поднимется конькобежец, если высота горки увеличивается на 0,5 м на каждые 10 м пути по горке? коэффициент трения коньков о лед 0,02?
F – Fсопр – Fтр = 0 , если движение равномерно, где F – сила тяги конькобежца.
F = СSρu²/2 + μmg , где ρ – плотность воздуха, u, S и С – предельная скорость, площадь сечения и характерный коэффициент сопротивления конькобежца.
Запишем второй закон Ньютона для смычки:
v' = ( F – Fсопр – Fтр – mgsinφ ) / m , где φ – текущий угол поворота на смычке; в данном случае Fтр = μN > μmg ! поскольку давление на смычке может быть заметно выше!
Нормальное ускорение в данном случае:
a = v²/R , которое обеспечивается реакцией смычки N за вычетом поперечной к смычке составляющей силы тяжести :
mv²/R = N – mgcosφ , где φ – текущий угол поворота на смычке.
N = mv²/R + mgcosφ ;
Fтр = μN = μmv²/R + μmgcosφ ;
v' = ( F – СSρv²/2 – μmv²/R – μmgcosφ – mgsinφ ) / m ;
s'' = F/m – ( СSρ/[2m] + μ/R )s'² – μgcos(s/R) – gsin(s/R) ;
Данное нелинейное дифференциальное уравнение в элементарных функциях не решается. Для решения можно сделать некоторые пренебрежения.
Положим некоторые не значительно-переменные на смычке величины – постоянными:
μgcos(s/R) ≈ μgcos(φo/2),
gsin(s/R) ≈ gsin(φo/2), где φo – угол наклона наклонной плоскости, тогда:
v' = [ F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) ] – ( СSρ/[2m] + μ/R )v² ;
Поскольку мы будем устремлять R к нолю, то:
| F/m – μgcos(φo/2) – gsin(φ/o) | << ( СSρ/[2m] + μ/R )v² , а кроме того:
СSρ/[2m] << μ/R , окончательно:
v' = –μv²/R ;
Rdv/v² = –μdt ;
R/v – R/Vo = μt ;
R/v = R/Vo + μt ;
v = 1/[ 1/Vo + μt/R ] ;
ds = 1/[ 1/Vo + μt/R ] dt = [R/μ] d( 1/Vo + μt/R )/[ 1/Vo + μt/R ] ;
s = [R/μ] ln| Vo ( 1/Vo + μt/R ) | = [R/μ] ln|Vo/v| ;
v = Vo exp(–μs/R) = Vo exp(–μφ) – это будет скорость конькобежца после смычки.
Теперь запишем третий Закон Ньютона на наклонном участке:
v' = F/m – Fсопр/m – μgcosφ – gsinφ ;
F = СSρu²/2 + μmg ;
v' = – СSρv²/[2m] – ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) ;
Обозначим ускорение возвратных бесскоростных сил,
как b = gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ,
а величину 2m/[СSρ] = L – как тормозную константу, тогда:
v' = – v²/L – b ;
dv/[ v²/L + b ] = –dt ;
dv/[ v²/(bL) + 1 ] = –bdt ;
d(v/√[bL]) / [ (v/√[bL])² + 1 ] = – √[b/L] dt ;
arctg(v/√[bL]) – arctg(V/√[bL]) = √[b/L] t ;
arctg(V/√[bL]) = arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ;
V/√[bL] = tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
V = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
ds = √[bL] tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) dt =
= – L tg( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) d( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) ;
s = L ln| cos( arctg(v/√[bL]) – √[b/L] t ) / cos( arctg(v/√[bL]) ) | ;
s = L ln| √[1+v²/(bL)] / √[1+V²/(bL)] | ;
Когда скорость V станет равна нулю – это и будет наивысшая точка:
s = L ln√[1+v²/(bL)] = L ln√[1+Vo²exp(–2μφ)/(bL)] ;
H = s sinφ ;
sinφ = h/so , где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;
1–cosφ = 1 – √[1–(h/so)²] ≈ [1/2] (h/so)², где h и so – эталонные высоты и смещения, характеризующие наклон горки;
H = [s/so] h = [h/so] L ln√[1+Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/(bL)] ;
bL = ( gsinφ – СSρu²/[2m] – μg(1–cosφ) ) 2m/[СSρ] =
= 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u²
H = 2m/[СSρ]*
*[h/so] ln√[ 1 + Vo²exp(–2μarcsin[h/so])/( 2mg/[СSρ] ( h/so – [μ/2] (h/so)² ) – u² ) ] ;
Как мы видим, нам необходима максимальная скорость конькобежца u. Будем считать, что это так невнятно дано в виде начальной скорости конькобежца. Учтём ещё, что в нашем случае: arcsin[h/so] ≈ h/so, (h/so)² << 1 и exp(–2μarcsin[h/so]) ≈ 1–2μh/so :
H = 2m/[СSρ] [h/so] ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] ;
Очевидно, что для того, чтобы «работающий ногами конькобежец» вообще мог достичь какой-либо наивысшей точки, нужно чтобы:
ln√[ 1 + (1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) ] > 0 ;
(1–2μh/so)/( 2 [h/so] mg/[СSρVo²] – 1 ) > 0 ;
2 [h/so] mg/[СSρVo²] > 1 ;
m/СS > ρVo²so/[2gh] ≈ 1.25*64*10/[ 2*9.8*0.5 ] ≈ 4000/49 ;
m/СS > 81.6 ;
Если считать, что CS = 1 м² , то масса конькобежца должна быть больше 82 кг, чтобы он, «продолжая работать ногами», вообще остановился.
* Допустим, что m/CS = 200 (тяжёлый и слабый), тогда:
H ≈ 2*200/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*200*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 16 ln√[ 1 + 0.998/1.45 ] ≈ 8.4 м.
* Допустим, что m/CS = 100 (средний параметр), тогда:
H ≈ 2*100/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*100*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 8 ln√[ 1 + 0.998/0.225 ] ≈ 13.5 м.
* Допустим, что m/CS = 82 (легко-пронырливый), тогда:
H ≈ 2*82/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*82*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )]
≈ 6.56 ln√[ 1 + 0.998/0.0045 ] ≈ 35 м.
* Допустим, что m/CS > 81.64 (всепреодолевающий на этом наклоне), тогда:
H ≈ 2*81.64/1.25 [1/20] ln√[ 1 + (1–0.04*1/20])/( 2*81.64*9.8*0.5/[1.25*64*10] – 1 )] ≈ бесконечность.