На одном из концов резинового шнура длиной l=12 см и поперечным сечением a=9 мм2 прикреплен груз массой m=0.13 кг. груз раскрутили за свободный конец шнура до угловой скорости ω=15 1/с. чему станет равной длина шнура l* при вращении груза? массу шнура и силу тяготения не учитывать. модуль юнга резины: e=8·106 па.
Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения момента импульса и механической энергии.
Сначала рассмотрим закон сохранения момента импульса. Момент импульса сохраняется, когда на тело не действуют внешние моменты сил, то есть когда его угловая скорость не меняется. В нашем случае, шнур не растянут и не сжат, поэтому на него действуют только силы внутренних натяжений. Момент импульса можно выразить как произведение угловой скорости на момент инерции тела:
L = Iω,
где L - момент импульса, I - момент инерции тела, ω - угловая скорость.
Момент инерции тела можно выразить через его массу и распределение массы относительно оси вращения используя интеграл:
I = ∫r^2dm,
где r - расстояние от точки на теле до оси вращения, а dm - массовый элемент.
В нашем случае, груз находится на конце шнура, поэтому можно считать, что расстояние r является константой и равно длине шнура l.
Теперь мы можем выразить момент инерции шнура исходя из его длины и поперечного сечения:
I = ∫l^2 da,
где da - элемент площади.
Так как шнур имеет постоянное поперечное сечение, площадь элемента da также является константой и равна площади поперечного сечения a.
Тогда можем записать:
I = l^2 a.
Теперь, подставим полученное значение момента инерции в уравнение сохранения момента импульса:
L = Iω.
L = l^2 a ω.
Теперь рассмотрим закон сохранения механической энергии. Механическая энергия системы остается постоянной, когда на нее не действуют внешние силы, совершающие работу. Вращающийся груз имеет как кинетическую энергию вращения, так и потенциальную энергию упругости шнура. Механическая энергия можно записать следующим образом:
E = 1/2 I ω^2 + 1/2 k l^2,
где E - механическая энергия системы, k - модуль упругости резины.
Так как у нас нет данных о модуле упругости резины, мы не можем рассчитать механическую энергию напрямую. Однако, мы можем выразить ее через известные значения:
E = 1/2 I ω^2 + 1/2 k l^2.
Так как длина l не меняется в процессе вращения, второе слагаемое остается постоянным:
E = 1/2 I ω^2 + 1/2 k l^2 = const.
Из этого уравнения можно выразить длину шнура l*. Для этого необходимо найти значение механической энергии в начальном и конечном состояниях системы.
В начальном состоянии груз находится в покое, поэтому механическая энергия в начальном состоянии равна 0:
E1 = 0.
В конечном состоянии система вращается с угловой скоростью ω:
E2 = 1/2 I ω^2 + 1/2 k l*^2.
Так как E = const, можно записать:
E1 = E2.
0 = 1/2 I ω^2 + 1/2 k l*^2.
Используя выражение для момента инерции и подставляя известные значения, мы можем решить уравнение и найти значение l*:
0 = 1/2 (l^2 a) ω^2 + 1/2 k l*^2.
Упрощая выражение, получаем:
0 = 1/2 (l^2 a) ω^2 + 1/2 k l*^2.
k l*^2 = - (l^2 a) ω^2.
k l*^2 = - l^2 a ω^2.
l*^2 = - (l^2 a) ω^2 / k.
l* = √(- (l^2 a) ω^2 / k).
Так как нам дано значение угловой скорости ω, длины шнура l и поперечного сечения a, нам не хватает значения модуля упругости резины k, чтобы полностью решить задачу.
В итоге, чтобы ответить на вопрос о том, чему станет равной длина шнура l* при вращении груза, нам нужно знать значение модуля упругости резины k.