На одному з головних проспектів міста N після півночі проходять гонки стрітрейсерів. Чи зуміє безпечно по пішохідному переходу перейти проспект шириною 12 метрів перехожий, що йде зі швидкістю 6 км/год, якщо швидкості руху їх автомобілів відповідно рівні 3 км/хв, 180 км/год і 48 м/с? Вважати, що гонщики і пішохід починають рух одночасно Пішохідний перехід ділить «гоночну» ділянку довжиною 3 км на дв рівні частини. Де, по-вашому, слід починати перехід перехожому, щоб безпечно перейти проспект?
Обозначим:
Vo = 10 м/с – модуль начальной скорости ;
Vox = Voy = Vo/√2 – проекции начальной скорости на оси Ox и Oy ;
Удвоенное произведение ускорения и расстояния в равнопеременном движении равно разности квадратов краевых скоростей, а поскольку в верхней точке составляющая скорости по оси Оy равна нулю, то:
0² – Voy² = –2gH ; где H – максимальная высота, на которую поднимется камень ;
H = Voy²/(2g) ;
H = Vo²/(4g) ≈ 100/(4*9.8) ≈ 2.55 м ;
Средняя скорость полёта в равноускоренном движении равна среднеарифметическому краевых скоростей, а поскольку в верхней точке составляющая скорости по оси Оy равна нулю, то:
Vyср = ( Voy + 0 )/2 = Voy/2 ;
Средняя скорость горизонтального движения камня просто равна:
Vхср = Voх ; т.е. вдвое выше средней скорости вертикального движения от начальной до верзней точки.
Стало быть за то время, пока камень поднимается, он проходит вдое больше высоты подъёма. А поскольку камень потом ещё и спускается, то, значит он проходит по горизонтали вчетверо больше высоты подъёма.
L = 4H = Vo²/g ≈ 100/9.8 ≈ 10.2 м .
f(υ) = 4πυ² √[ ( μ/(2πRT) )³ ] exp( -μυ²/(2RT) ) ;
Средняя скорость по Максвеллу:
<υ> = √[ 8RT/(πμ) ] ;
Тогда:
<υ>² = 8RT/(πμ) ;
И:
f(<υ>) = ( 32RT/μ ) √[ ( μ/(2πRT) )³ ] exp( -4/π ) ;
f(<υ>) = ( 16/π ) √[ μ/(2πRT) ] exp( -4/π ) ;
Отсюда доля частиц со скоростями от <υ> до <υ>+Δυ, где Δυ=2 м/с, составит:
δ = f(<υ>) Δυ = ( 16Δυ/π ) √[ μ/(2πRT) ] exp( -4/π ) ;
δ ≈ ( 16*2/π ) √[ 0.028/(5000π) ] exp( -4/π ) ≈ 0.0038 = 0.38 % .