На оловянный шар объёмом 120 см в кубе действует сила тяжести 9,5 Н. Сплошной этот шар или имеет внутри полость?

Показать ответ

Ответ:

mdebnu

26.04.2022 12:12

Шаг 1. Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
$q'' + 2 \gamma q' + \omega_0^2 q = e(t)$ , полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: $\gamma = \frac{R}{2L}$ , $\omega_0 = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$ . Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. $e(t) = \frac{E_0}{L} cos(\omega t)$ .
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
$q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi) + B cos(\omega t + \psi)$ , где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение $q=B cos(\omega t + \psi)$ в уравнение и (с например, векторной диаграммы) получим $B = \frac{E_0}{L} \frac{1}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}$ .
Зная, что $I(t) = q'(t) = - B \omega sin(\omega t +\psi)$ и $U(t) = \frac{q(t)}{C}$ . Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения: $U = \frac{E_0}{LC \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}$ и $I = \frac{E_0 \omega}{LC \omega \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}} = \frac{E_0}{LC \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}}$ .
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте $\omega_u = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ , а у тока при $\omega_i = \omega_0$ .
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое $q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi)[\tex] Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [tex]\tau = \frac{1}{\gamma}$ . За это время система совершила $N = \frac{\tau}{T_c} = \frac{\omega_c}{2 \pi \gamma}$ колебаний, где $\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ - собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина $Q = \pi N = \frac{\omega_c}{2 \gamma}$ называется добротностью контура.
Шаг 3. Накладываем ограничения
$\frac{\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} }{\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}} \leq 0.01$
Решая это неравенство получаем: $\frac{\gamma^2}{\omega_0^2} \leq 0.009851975$ , отсюда $\frac{\omega_0}{2\gamma} \geq 5.04$
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря, $Q = \frac{\omega_c}{2 \gamma}$ и $\frac{\omega_0}{2\gamma}[\tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = \frac{ \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = \frac{\omega_0}{2\gamma} \sqrt{1 - \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} = \frac{\omega_0}{2\gamma} ( 1 - \frac{\gamma^2}{2\omega_0^2} + o(\frac{\gamma^2}{\omega_0^2})) = \frac{\omega_0}{2\gamma} - \frac{\gamma}{4\omega_0} + o(\frac{\gamma}{\omega_0}).$ Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
ответ: $Q \ \textgreater \ 5$

P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.

0,0(0 оценок)

Ответ:

milota5

24.06.2022 18:45

Дано
р=10 в степени (-10) Кл*м
r=10 см
Найти
U-?
Решение
Диполь точечный и его размерами можно пренебречь. Тогда напряженность поля на расстоянии rот центра диполя до его оси равна
E=2*p\4*pi*E0*r^3=p\2*pi*E0*r^3
Потенциал равен
φ=интеграл E*dr
φ=интеграл (р*dr\2*pi*E0*r^3) = - (p\4*pi*E0*r^2) +C
C это константа интегрирование,ее можно приравнять нулю и тогда на бесконечности потенциала будет тоже ноль.
Следовательно искомая разность потенциалов равна
U=2*φ
U=2*p\4*pi*E0*r^2=p\2*pi*E0*r^2
Тогда
U=10 в степени (-10) \2*3,14*8,85*10 в степени (-12)*(0,1) в квадрате =
= 10 в степени (-10) \0,55578*10 в степени (-12)=18*10 в степени(-10)*10 в степени (+12) =18*10 в степени (-10+12) =18*10 в степени (+2) =18*100=1800 (В)
ответ (U=1800 В)
Решение верное,только проблема в некорректности цифры момента диполя.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Физика