Наблюдатель отсчитывает ширину 10 колец Ньютона вдали от их центра. Она оказывается равной 0,7 мм. Ширина следующих 10 колец оказывается равной 0,4 мм. Наблюдение производится в отраженном свете при длине волны 589 нм. Определить радиус кривизны поверхности линзы. Подробное решение
В данной задаче мы имеем дело с кольцевой интерференцией, обусловленной разностью хода между двумя поверхностями линзы: передней и задней. Разность хода зависит от радиуса кривизны поверхности линзы (R), длины волны (λ) и номера кольца интерференции (n).
Разность хода (Δ) вычисляется по формуле:
Δ = 2R * (n - 1) * (n + 1) / λ
В данной задаче у нас есть две разности хода для двух разных наблюдаемых интерференционных колец. Обозначим их как Δ1 и Δ2.
Также мы знаем, что ширина каждого кольца интерференции связана с разностью хода следующим образом:
ширина кольца = Δ / (2 * n)
Дано:
- ширина первых 10 колец (w1) = 0,7 мм
- ширина следующих 10 колец (w2) = 0,4 мм
- длина волны (λ) = 589 нм = 0,589 мкм (в нанометрах)
Теперь мы можем перейти к решению задачи.
Шаг 1: Вычисляем разность хода Δ1 для первых 10 колец.
Δ1 = w1 * λ / (2 * n) = 0,7 * 0,589 / (2 * 10) = 0,03455 мкм
Шаг 2: Вычисляем разность хода Δ2 для следующих 10 колец.
Δ2 = w2 * λ / (2 * n) = 0,4 * 0,589 / (2 * 10) = 0,02356 мкм
Шаг 3: Используем разность хода Δ1 и Δ2, чтобы вычислить радиус кривизны поверхности линзы (R).
Мы знаем, что Δ1 и Δ2 связаны с радиусом кривизны R следующим образом:
Δ1 = 2R * (n1 - 1) * (n1 + 1) / λ
Δ2 = 2R * (n2 - 1) * (n2 + 1) / λ
Где n1 и n2 - номера кольцев интерференции, соответствующие Δ1 и Δ2 соответственно.
Перепишем эти уравнения:
R = Δ1 * λ / (2 * (n1 - 1) * (n1 + 1))
R = Δ2 * λ / (2 * (n2 - 1) * (n2 + 1))
Мы можем использовать эти уравнения для Δ1 и Δ2, чтобы вычислить R.
Шаг 4: Исключаем переменные n1 и n2, чтобы вычислить одно уравнение для R.
Используем следующее соотношение между Δ1 и Δ2:
Δ2 / Δ1 = (n2 - 1)(n2 + 1) / (n1 - 1)(n1 + 1)
Подставляем значения Δ1 и Δ2 из шагов 1 и 2:
(0,02356) / (0,03455) = (n2 - 1)(n2 + 1) / (n1 - 1)(n1 + 1)
Выполняем простые алгебраические преобразования и упрощения:
0,6826 = (n2^2 - 1) / (n1^2 - 1)
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение для n1.
Заметим, что n1 > 1 и n2 > 1, поэтому n1 - 1 и n2 - 1 не равны нулю.
0,6826 * (n1^2 - 1) = n2^2 - 1
0,6826n1^2 - 0,6826 - n2^2 + 1 = n1^2 - 1
0,6826n1^2 - n1^2 + 1 - 0,6826 = n2^2 - 1
0,3174n1^2 = n2^2 - 0,3174
n1^2 = (n2^2 - 0,3174) / 0,3174
n1 = √((n2^2 - 0,3174) / 0,3174)
Теперь у нас есть выражение для n1 через n2.
Шаг 6: Подставляем значение n1 в одно из уравнений для R для определения конечного выражения R.
Используем уравнение:
R = Δ1 * λ / (2 * (n1 - 1) * (n1 + 1))
Подставляем значение n1:
R = Δ1 * λ / (2 * (√((n2^2 - 0,3174) / 0,3174) - 1) * (√((n2^2 - 0,3174) / 0,3174) + 1))
Шаг 7: Подставляем значения Δ1 и λ из ранее рассчитанных шагов для определения конечного значения R.
R = 0,03455 * 0,589 / (2 * (√((n2^2 - 0,3174) / 0,3174) - 1) * (√((n2^2 - 0,3174) / 0,3174) + 1))
Теперь мы можем использовать это уравнение, чтобы получить окончательное значение радиуса кривизны поверхности линзы (R) при известных значениях ширины колец (w1 и w2), длины волны (λ) и номера кольца интерференции (n).
Обратите внимание, что в конечном ответе "n" будет определяться в зависимости от значений Δ1 и Δ2 (обычно он будет округляться до ближайшего целого числа). В данном случае мы оставили его в виде "n1" и "n2" для общего вида решения задачи.