Найти индукцию магнитного поля, которое действует на проводник
длиной 40 м с силой 250 мН. Сила тока через проводник равна 10 А, а
длина проводника, находящегося в магнитном поле, равна 2,5 м.
Угол между направлением тока и вектором магнитной индукции равен
30˚
Ещё раз, как именно клин после удара будет взаимодействовать с горизонтальной поверхностью – мы не знаем (будет скакать или просто будет двигаться горизонтально), поскольку нам не заданы параметры взаимодействия клина и поверхности (абсолютно-упругое, абсолютно-неупругое и т.п.), но в любом случае, нам необходимо учесть часть кинетической энергии, которую будет нести вертикальный (!) импульс клина.
Что бы развеять сомнения, добавлю, что, поскольку мы считаем удар мгновенным, то в тот момент, когда шар УЖЕ оторвётся от верхней поверхности – нижняя поверхность клина ЕЩЁ «не будет» знать, что клин уже движется вниз, поскольку сигнал (в виде упругой волны) о верхнем взаимодействии ещё не дойдёт до дна.
Шар взаимодействует с клином точно поперёк их общей поверхности в момент контакта. А поверхность эта сориентирована к горизонту под углом 30°. Стало быть, сила, действующая на клин – будет придавать вертикальный импульс и скорость в √3 раза больший, чем горизонтальный импульс и скорость.
Обозначим горизонтальную скорость клина, как – u, тогда его вертикальная скорость √3u .
Будем считать, что скорость шара после отскока направлена вбок и ВВРЕХ. Именно из этих соображений далее будем записывать законы сохранения (если получится отрицательное значение скорости, то значит, она направлена – вниз). Обозначим горизонтальную составляющую конечной скорости шара, как vx, а вертикальную, как vy.
Из закона сохранения импульса по горизонтали ясно, что:
mvx = Mu ;
vx = [M/m] u ;
Из закона сохранения импульса по вертикальной оси найдём vy:
mV = M√3u – mvy ;
vy = √3[M/m]u – V ;
Из закона сохранения энергии найдём горизонтальную скорость клина:
mV² = mvx² + mvy² + Mu² + M (√3u)² ;
mV² = [M²/m] u² + m ( √3[M/m]u – V )² + 4Mu² ;
mV² = [M²/m]u² + 3[M²/m]u² – 2√3MuV + mV² + 4Mu² ;
0 = 4[M²/m]u² – 2√3MuV + 4Mu² ;
√3V = 2( [M/m] + 1 ) u ;
u = √3V/[2(1+M/m)] ;
Потеря энергии: Eпот = M (√3u)²/2 = 9MV²/[8(1+M/m)²] =
= 9m²V²/[8M(1+m/M)²] = mV²/2 * 9m/[4M(1+m/M)²] ;
Eпот = Eнач * 9m/[4M(1+m/M)²]
где Eнач – начальная кинетическая энергия.
При m << M : Eпот —> 0 ; (проверка очевидного предельного перехода)
vx = [M/m] u = [M/m] √3V/[2( [M/m] + 1 )] ;
vx = √3V/[2(1+m/M)] ;
vy = √3[M/m]u – V = √3[M/m] √3V/[2( [M/m] + 1 )] – V =
= 3V/[2+2m/M] – V = [3V–2V–2Vm/M]/[2+2m/M] ;
vy = V[1–2m/M]/[2(1+m/M)] ;
Тангенс угла отскока:
tgφ = vy/vx = [1–2m/M]/√3 ;
в частности, при M = 2m шарик отскочит горизонтально.
При m << M : tgφ —> 1/√3 ; φ —> 30°
(проверка очевидного предельного перехода)
ОТВЕТ: u = √3V/[2(1+M/m)] .
Ещё раз, как именно клин после соударения с шаром будет взаимодействовать с горизонтальной поверхностью – мы не знаем (будет скакать или просто будет двигаться горизонтально), поскольку нам не заданы параметры взаимодействия клина и поверхности (абсолютно-упругое, абсолютно-неупругое и т.п.), но в любом случае, нам необходимо учесть часть кинетической энергии, которую будет нести вертикальный (!) импульс клина.
Что бы развеять сомнения, добавлю, что, поскольку мы считаем удар мгновенным, то в тот момент, когда шар УЖЕ оторвётся от верхней поверхности – нижняя поверхность клина ЕЩЁ «не будет знать», что клин уже движется вниз, поскольку сигнал (в виде упругой волны) о верхнем взаимодействии ещё не дойдёт до дна.
Шар взаимодействует с клином точно поперёк их общей поверхности в момент контакта. А поверхность эта сориентирована к горизонту под углом Стало быть, сила, действующая на клин – будет придавать вертикальный импульс и скорость в раз больший, чем горизонтальный импульс и скорость.
Обозначим горизонтальную скорость клина, как – тогда его вертикальная скорость
Будем считать, что скорость шара после отскока направлена вбок и ВВРЕХ. Именно из этих соображений далее будем записывать законы сохранения (если получится отрицательное значение скорости, то значит, она направлена – вниз). Обозначим горизонтальную составляющую конечной скорости шара, как а вертикальную, как
Из закона сохранения импульса по горизонтали ясно, что:
Из закона сохранения импульса по вертикальной оси найдём
Из закона сохранения энергии найдём горизонтальную скорость клина:
Для угла
В частности, при ;
В частности, при
Часть энергии не превратится ни в движение клина вдоль плоскости, ни в движение шара, а уйдёт вместе с вертикальным импульсом клина либо в колебания клина над поверхностью, либо во внутреннюю энергию (при неупругом взаимодействии клина с поверхностью). Что бы там с этой энергией далее не происходило – необходимо учесть эту энергию отдельно, чтобы не отнести её по ошибке к энергии горизонтального движения клина. После пояснения термина – «потеря энергии» в контексте данной задачи, можно эту потерю и посчитать.
Потеря энергии:
где – начальная кинетическая энергия.
Для угла
При
(проверка очевидного предельного перехода)
При
При