Найти напряженность магнитного поля в центре кругового витка радиусом 9 см, помещенного в квадратную рамку со стороной 18 см так, что их плоскости совпадают, а направления токов в них силой 20 А противоположны.
Для решения этой задачи мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который гласит:
dH = (μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³
где:
dH - магнитное поле элементарного участка проводника Idl,
μ₀ - магнитная постоянная (4π * 10^(-7) Тл/А·м),
Idl - длина элементарного участка проводника,
r - расстояние от элементарного участка проводника до точки, в которой мы хотим найти магнитное поле.
Для нашей задачи имеем:
- радиус кругового витка R = 9 см = 0.09 м,
- сторона квадратной рамки а = 18 см = 0.18 м,
- ток I = 20 А.
Итак, нам нужно найти магнитную индукцию в центре кругового витка.
Для начала рассмотрим магнитное поле от кругового витка. Мы можем разбить круговой виток на небольшие элементарные участки проводника и интегрировать их вдоль всего кругового витка.
В данном случае, так как наши витки расположены в плоскости рамки, проводим интегрирование вдоль окружности с радиусом r = 0.09 м.
Выражение для магнитной индукции элементарного участка проводника Idl:
dH = (μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³
Так как в плоскости рамки течет ток в противоположных направлениях, магнитные поля от каждого элементарного участка проводника будут складываться алгебраически.
Выпишем интеграл для нахождения магнитной индукции в центре кругового витка:
H = ∫ dH = ∫ [(μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³]
С учётом симметрии кругового витка можно упростить этот интеграл, заменив его интегрированием только по углу. Это позволит нам найти магнитную индукцию в центре кругового витка без необходимости интегрирования по всем элементарным участкам проводника.
Рассмотрим элементарный участок связанный с углом dφ.
Idl = R dφ,
где R - радиус кругового витка, а dφ - элементарный угол.
Теперь можем заменить Idl в интеграле:
H = ∫ [(μ₀/(4π)) * ((R dφ) × r)/r³],
H = (μ₀/(4π)) * R/r³ ∫ [dφ],
где ∫ [dφ] - интеграл по углу φ от 0 до 2π, который равен 2π.
H = (μ₀/(4π)) * R/r³ * 2π,
H = (μ₀ * R/r³) * (1/2),
H = (2μ₀ * R/r³).
Теперь подставим значения R = 0.09 м и r = 0.09 м в выражение для магнитной индукции:
H = (2 * 4π * 10^(-7) Тл/А·м * 0.09 м)/(0.09^3 м),
dH = (μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³
где:
dH - магнитное поле элементарного участка проводника Idl,
μ₀ - магнитная постоянная (4π * 10^(-7) Тл/А·м),
Idl - длина элементарного участка проводника,
r - расстояние от элементарного участка проводника до точки, в которой мы хотим найти магнитное поле.
Для нашей задачи имеем:
- радиус кругового витка R = 9 см = 0.09 м,
- сторона квадратной рамки а = 18 см = 0.18 м,
- ток I = 20 А.
Итак, нам нужно найти магнитную индукцию в центре кругового витка.
Для начала рассмотрим магнитное поле от кругового витка. Мы можем разбить круговой виток на небольшие элементарные участки проводника и интегрировать их вдоль всего кругового витка.
В данном случае, так как наши витки расположены в плоскости рамки, проводим интегрирование вдоль окружности с радиусом r = 0.09 м.
Выражение для магнитной индукции элементарного участка проводника Idl:
dH = (μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³
Так как в плоскости рамки течет ток в противоположных направлениях, магнитные поля от каждого элементарного участка проводника будут складываться алгебраически.
Выпишем интеграл для нахождения магнитной индукции в центре кругового витка:
H = ∫ dH = ∫ [(μ₀/(4π)) * (Idl × r)/r³]
С учётом симметрии кругового витка можно упростить этот интеграл, заменив его интегрированием только по углу. Это позволит нам найти магнитную индукцию в центре кругового витка без необходимости интегрирования по всем элементарным участкам проводника.
Рассмотрим элементарный участок связанный с углом dφ.
Idl = R dφ,
где R - радиус кругового витка, а dφ - элементарный угол.
Теперь можем заменить Idl в интеграле:
H = ∫ [(μ₀/(4π)) * ((R dφ) × r)/r³],
H = (μ₀/(4π)) * R/r³ ∫ [dφ],
где ∫ [dφ] - интеграл по углу φ от 0 до 2π, который равен 2π.
H = (μ₀/(4π)) * R/r³ * 2π,
H = (μ₀ * R/r³) * (1/2),
H = (2μ₀ * R/r³).
Теперь подставим значения R = 0.09 м и r = 0.09 м в выражение для магнитной индукции:
H = (2 * 4π * 10^(-7) Тл/А·м * 0.09 м)/(0.09^3 м),
H = (8π * 10^(-7) Тл/А·м * 0.09 м)/(0.09 * 0.09 * 0.09 м²),
H = 8π * 10^(-7) Тл/А * 1/0.09 м²,
H ≈ 8π * 10^(-7) Тл/А * 1111.11 м²/Тл,
H ≈ 8π * 10^(-7) * 1111.11 Тл/м,
H ≈ 8π * 1.11111 * 10^(-3) Тл/м,
H ≈ 0.0088495 Тл/м.
Таким образом, магнитная индукция в центре кругового витка равна примерно 0.0088495 Тл/м.